RSA非对称密码算法学习笔记
学习来源：B站up:DoraHcaks
学习路径：密码学7.1｜RSA非对称密码算法_哔哩哔哩_bilibili
1.基础数学知识
1.1欧几里得辗转相除法
假设正整数a≥b，求a和b的最大公因数gcd(a, b) = ?
(1)如果a mod b = 0， 即余数 r = 0，则gcd(a, b) = b
(2)否则，令 r = a mod b，gcd(a, b) = gcd(b, r)，递归直至 r = 0，满足情况(1)
举例：a = 254， b = 8
254 = 8 * 31 + 6，r = 6 ≠ 0 => gcd(254, 8) = gcd(8, 6)
8 = 6 * 1 + 2， r = 2 ≠ 0 => gcd(8, 6) = gcd(6, 2)
6 = 2 * 3， r = 0 = 0 => gcd(254, 8) = gcd(8, 6) = gcd(6, 2) = 2
多项式时间内可解的问题(P问题)
已知大合数a，求小于a的大素数b，使得a与b互素，即gcd(a, b) = 1。
该问题能够使用欧几里得辗转相除法快速求解。
随机选择一个大素数b，如果即gcd(a, b) ≠ b，则gcd(a, b) = 1
因此，这样的大素数有很多，且很容易找。
1.2 因子分解困难问题
大数的因子分解问题，非常困难！
初始化：随机选择2个不同的大素数p, q，计算n = p * q。
公开 n，求p, q
举例1：素数p = 5，q = 7，计算n = p * q = 35.
已知：n = 35，求p, q
答：暴力搜索，令p, q = 2, 3 ....
举例2：保密数据p, q，公开数据n
公开 n = 8239121061250502943937 = p * q
for(i >= 2 && i <= √n) {
for(j >= 2 && j <= √n) {
if (8239121061250502943937 == i * j) {
System.out.println(i, j);
}
}
}如果是2048bit的大整数，n = 
- 110 + 1，则计算机需要100年以上时间破解。不可行。
因子分解是NP问题：求解时，需要for循环，暴力搜索，需要指数时间；但是，一旦已知解，则可以快速验证解的正确性。
1.3 费马小定理
若p为素数，a是正整数且不能被p整除，互素(互质)，则
注：证明视频里有，如果有需要可以去视频学习，这里省去
举例3：p = 7， a = 3，3不能被7整除，根据费马小定理
公式推导：
举例4：p = 11， a = 5，5不能被11整除，根据费马小定理
公式推导：
1.4 欧拉函数
小于n，且与n互素的正整数个数，记为
，习惯上
结论：如果n是素数，则
推论：如果有两个素数p, q，且p ≠ q，对于n = p * q，有
，则
费马小定理： 若p为素数，a是正整数且不能被p整除，互素(互质)，则
欧拉定理：对任意互素的a和n，则有
欧拉定理中，n可以是合数，a是素数，或a与n互素也可以。
因此，欧拉定理是费马小定理的扩展或一般化。
举例5：n = 7， a = 3，互素，则
一般化：
再一般化：
关键结论：指数部分超过，则是多余的，所以指数部分能够模
举例6：n = 7， a = 3，互素，计算
、
欧拉定理：对任意互素的a和n，则有
欧拉定理扩展：
1.5 模反元素的存在性
如果大素数a和大合数π，a与π互素，则一定可以找到整数b，使得
，则称b是a的模反元素。
证明：使用欧拉定理
，则
，则
，则
符号替换：
a = sk，b = pk，π = 。为大合数，sk为大素数，使用欧几里得辗转相除法，可以快速测试sk与大合数互素。如果不是互素就换一个sk，总能找到一个符合的sk。
模反元素存在性的等价描述：
如果大素数sk和大合数互素，则一定可以找到整数pk，使得
，则称pk是sk的模反元素，则
已知p, q，n = p * q，，将合数(p-1)(q-1)因子分解，
求 
比较简单
因此，已知大素数sk和大合数互素，可以快速求出
反之，已知pk和n，不知道因子分解p, q，则无法快速求，从而无法快速计算sk
无法快速计算的理由：是一个等式，2个未知数和sk
转化等价：<=> 
<=> 
选择随机数m，计算：
2 RSA加密与签名
2.1 RSA算法原理(参考《加密解密(第4版)》)
(1) 选择两大素数p和q，为了获取最高的安全性，设两数的长度一样
(2) 计算 n = p * q，n 称为模
(3) 计算欧拉函数：
(4) 选取加密密钥e，其与互素。如果选择的e值合适，RSA加解密的速度将会加快。e的值常为3、17和65537(
)
(5) 使用扩展欧几里得算法求出e模的逆元d，即
(6) 密钥为 e 和 n，私钥为 d和n，p, q可以丢弃，但是必须保密
(7) 加密消息m时，将其看成一个大整数，并把它分成比n小的数据分组，按下面的式子进行加密：
(8) 解密密文c时，取每一个加密后的分组
并计算，即：
应用场景1：RSA公钥加密
已知：Alice拥有公开数据是：pk公钥；保密数据是：sk私钥。
需求：Bob需要将保密数据m发送给Alice。
解决方案：
步骤1：公钥对数据加密。Bob加密C←
，将C发送给Alice
步骤2：私钥对数据解密。接收方Alice解密m←
，从C中计算出保密数据m
公式推导：
应用场景2：RSA数字签名
已知：Alice拥有公开数据是：pk公钥；保密数据是：sk私钥。
需求：Alice需要花费金额m。
解决方案：
步骤1：Alice签名。
公开
步骤2：任何人均可校验。
公式推导：
举例7：选择两个素数p = 17, q = 11，计算 n = p * q = 17 * 11 = 187
计算欧拉函数 = 16 * 10 = 160
选择一个随机数e，e小于，且与互素，
选择e = 7满足条件，计算模反元素d，满足，且d小于
则模反元素d = 23。因为23 * 7 = 161 mod (160) = 1
公钥为：(e, n) = (7, 187)；私钥为：(d, n) = (23, 187)
私钥为：(e, n) = (7, 187)；公钥为：(d, n) = (23, 187)
对于任意一个消息m = 88的RSA加密：
加密：
解密：
计算过程：
对该消息m = 88的RSA签名：
签名：
验证：