羊车门——概率论理解与程序检验

羊车门问题

有三扇关闭的门，一扇门后面停着汽车，其余的门后面是羊，只有主持人知道每扇门的后面是什么。参赛者可以选择一扇门，在开启它之前，主持人会开启另外一扇门，露出门后的山羊，然后允许参赛者更换自己的选择。请问：参赛者更换选择后能否增加猜中汽车的机会？

这是一道概率论的问题

虽然学过概率论，但是已经很久没有使用过了，我这里就仅凭着自己残存的一点知试来尝试解答一下吧。
首先参赛者可以做两次选择，每次选择产生一个结果，最后组合起来是四种情况

1. 第一次选择汽车，第二次选择汽车
2. 第一次选择汽车，第二次选择羊
3. 第一次选择羊，第二次选择汽车
4. 第一次选择羊，第二次选择

但是在第二次选择进行前，我们是可以操控的，也就是说，我们是否更换选择，这里又引出了两种不同的情况，换，还是不换。实际上这和我们前面的四种结果是对应的，更换选择就会出现 2，3两种情况，不更换就会出现 1，4两种情况。
为了方便讨论，我们将更换和不更换分开讨论。
首先确定我们的事件：
事件A：第一次选中了汽车
事件B：第二次选中了汽车
P(A) = 1/3 P(~A) = 2/3
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|~A)P(~A)

选择更换

如果我们一开始选中了汽车，当主持人打开一扇门后，剩下的一扇门里一定是羊，因此如果我们此时选择更换，那么最终结果就是选中羊

即 P(B|A) = 0

如果我们一开始选中了羊，主持人打开一扇门之后，我们更换选择，最后选到的一定是汽车

即 P(B|~A) = 1

此时我们最终选择汽车的概率为

P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|~A)P(~A) = 2/3

最终猜中汽车的概率为三分之二

选择不更换

同理
如果我们一开始选中了汽车，当主持人打开一扇门后，剩下的一扇门里一定是羊，因此如果我们此时选择不更换，那么最终结果就是选中汽车

即 P(B|A) = 1

如果我们一开始选中了羊，主持人打开一扇门之后，我们更换选择，最后选到的一定是羊

即 P(B|~A) = 0

此时我们最终选择汽车的概率为

P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|~A)P(~A) = 1/3

结果是更改选择，猜中概率增大

最终的结果是更改选择，猜中的概率是2/3,而不更改猜中的概率是1/3

我们用程序验证一下

假设我们选择更换选择

import random
car = random.randint(0,2)					#车的位置
getCar = 0									#记录猜中车的次数
getSheep = 0								#记录猜中羊的次数
times = 10000								#尝试一万次
for i in range(times):
	firstChoice = random.randint(0,2)		#第一次做出选择
	if firstChoice == car:					#当第一次选中汽车时
		getSheep += 1
	else:									#第一次选中羊时
		getCar += 1
print("中奖的概率{:.4f}".format(getCar/times))

最终结果为

中奖的概率0.6603