算法基础学习|二分

二分

模板

整数二分模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用（即寻找左边界使用）：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用（即寻找右边界使用）：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

例题一

题目

给定一个按照升序排列的长度为  的整数数组，以及  个查询。

对于每个查询，返回一个元素  的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数  和 ，表示数组长度和询问个数。

第二行包含  个整数（均在  范围内），表示完整数组。

接下来  行，每行包含一个整数 ，表示一个询问元素。

输出格式

共  行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

输入样例

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例

3 4
5 5
-1 -1

代码示例

#include 
using namespace std;

int main() {
    int n, t;
    cin >> n >> t;
	int* array = new int[n];

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> array[i];
    }

    while (t--) {

        int num;
        cin >> num;
        
        //寻找左边界
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (array[mid] >= num) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if (array[l] != num) cout << "-1 -1" << endl;
        else {
            cout << l;

            //寻找右边界
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (array[mid] <= num) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << " " << l << endl;
        }      
    }
}

例题二

题目

给定一个浮点数 ，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

输入样例

1000.00

输出样例

10.000000

代码示例

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const double eps = 1e-8;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求


int main() {
    double n;
    cin >> n;

    double l, r;
    //注意开根号的范围，1是特殊点
    if (n >= 1) l = 1, r = n;
    else if (n > 0) l = 0, r = 1;
    else if (n <= -1) l = n, r = -1;
    else l = -1, r = 0;

    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (pow(mid, 3) >= n) r = mid;
        else l = mid;
    }
    cout << fixed << setprecision(6) << l << endl;
    return 0;
}