【算法设计zxd】第一章 算法基础 1.基本概念+最大公约数

目录

一、基本概念：

例1-1：求最大公约数

问题分析：

计算模型：

  1) 穷举法

 2) 欧几里德算法（辗转相除法）

 算法设计与描述：

 算法分析—效率：

1) 穷举法：

 2) 欧几里德算法分析—渐近法

算法实现:

穷举法

欧几里得（辗转相除）

关于算法：

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一、基本概念：

算法（Algorithm）

是对解题方案准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，

代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。

算法定位：

“算法是计算机科学的核心”

“没有算法，就没有计算机程序”

“算法是计算机软件的灵魂”

“软件开发，算法先行”

例1-1：求最大公约数 Euclid(m,n)

【例1-1】求任意两个非负整数最大公约数(greatest common divisor, gcd)。

问题分析：

1)解决办法：质因数分解法、欧几里德算法 (辗转相除法)、更相减损法……

 2)共同特点：使用公约数不断进行约简，约简的次数(迭代)越少，算法的效率越高。

计算模型：

设a, b >0；

  1) 穷举法

 2) 欧几里德算法（辗转相除法）

设r = a mod b

当r ≠ 0时，依据欧几里德定理，有

 算法设计与描述：

 算法分析—效率：

1) 穷举法：

若a、b互质，则公约数测算的取值范围为b, b-1, b-2,…,1，否则，不妨设测算至b-i 时结束，那么，可能的测试次数为：

其中，pi为测算所取到值的概率。若每个取值的概率相等，则pi=1/b，由上式可得平均运算次数为：

 2) 欧几里德算法分析—渐近法

 如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于Fn-1。

若 bb), 则算法所需模运算的次数必定小于n（对应Fn-2或Fn-3……，必然小于n次运算）。

菲波那契数列的通项公式为：

 

 穷举法：f(b) =(b+1)/2

算法实现:

穷举法

//穷举法 -最大公约数 
#include

int main() 
{
	int a,b;
	int temp;
	printf("input any two numbers:");
	scanf("%d%d",&a,&b);
	
	temp = a

欧几里得（辗转相除）

//欧几里得(辗转相除) -最大公约数 
#include

int main() 
{
	int a,b;
	int temp;
	printf("input any two numbers:");
	scanf("%d%d",&a,&b);
	
	temp = a%b; 
	
	while(temp)
	{
		a=b;
		b=temp;
		temp=a%b;
	}
	printf("gcd : %d\n",b);
	return 0;
}

递归：

int gcd(int a,int b)
{
	int r=a%b;
	if(r==0) 
	{
		cout<

关于算法：

• 必须确定算法所处理的输入值域
• 对于输出有明确的要求，输出=f(输入)并在有限步骤内结束
• 算法设计必须是严谨、可行且正确的
• 算法每一个步骤都有确切的含义
• 同一算法可以用几种不同的形式来描述
• 同一问题，可能存在几种不同的算法
• 针对同一问题的不同算法，其运算效率也不一样