【算法设计zxd】第一章 算法基础 1.基本概念+最大公约数

目录

一、基本概念:

例1-1:求最大公约数

问题分析:

计算模型:

  1) 穷举法

 2) 欧几里德算法(辗转相除法)

 算法设计与描述:

 算法分析—效率:

1) 穷举法:

 2) 欧几里德算法分析—渐近法

算法实现:

穷举法

欧几里得(辗转相除)

关于算法:


一、基本概念:

算法(Algorithm)

是对解题方案准确而完整的描述,是一系列解决问题的清晰指令

代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制

算法定位:

“算法是计算机科学的核心”

“没有算法,就没有计算机程序”

“算法是计算机软件的灵魂”

“软件开发,算法先行”

例1-1:求最大公约数 Euclid(m,n)

【例1-1】求任意两个非负整数最大公约数(greatest common divisor, gcd)。

问题分析:

1)解决办法:质因数分解法、欧几里德算法 (辗转相除法)、更相减损法……

 2)共同特点:使用公约数不断进行约简,约简的次数(迭代)越少,算法的效率越高。

计算模型:

设a, b >0;

  1) 穷举法

【算法设计zxd】第一章 算法基础 1.基本概念+最大公约数_第1张图片

 2) 欧几里德算法(辗转相除法)

设r = a mod b

当r ≠ 0时,依据欧几里德定理,有

 算法设计与描述:

【算法设计zxd】第一章 算法基础 1.基本概念+最大公约数_第2张图片

 算法分析—效率:

1) 穷举法:

若a、b互质,则公约数测算的取值范围为b, b-1, b-2,…,1,否则,不妨设测算至b-i 时结束,那么,可能的测试次数为:

其中,pi为测算所取到值的概率。若每个取值的概率相等,则pi=1/b,由上式可得平均运算次数为:

 2) 欧几里德算法分析—渐近法

【算法设计zxd】第一章 算法基础 1.基本概念+最大公约数_第3张图片

 如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于Fn-1。

若 bb), 则算法所需模运算的次数必定小于n(对应Fn-2或Fn-3……,必然小于n次运算)。

菲波那契数列的通项公式为:

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 穷举法:f(b) =(b+1)/2

算法实现:

穷举法

//穷举法 -最大公约数 
#include

int main() 
{
	int a,b;
	int temp;
	printf("input any two numbers:");
	scanf("%d%d",&a,&b);
	
	temp = a

欧几里得(辗转相除)


//欧几里得(辗转相除) -最大公约数 
#include

int main() 
{
	int a,b;
	int temp;
	printf("input any two numbers:");
	scanf("%d%d",&a,&b);
	
	temp = a%b; 
	
	while(temp)
	{
		a=b;
		b=temp;
		temp=a%b;
	}
	printf("gcd : %d\n",b);
	return 0;
}

递归:

int gcd(int a,int b)
{
	int r=a%b;
	if(r==0) 
	{
		cout<

关于算法:

  • 必须确定算法所处理的输入值域
  • 对于输出有明确的要求,输出=f(输入)并在有限步骤内结束
  • 算法设计必须是严谨、可行且正确的
  • 算法每一个步骤都有确切的含义
  • 同一算法可以用几种不同的形式来描述
  • 同一问题,可能存在几种不同的算法
  • 针对同一问题的不同算法,其运算效率也不一样

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