买卖股票的最佳时机系列
买卖股票的最佳时机系列
- 1. 概述
- 2. dp 数组定义为状态
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- 2.1 买卖股票的最佳时机
- 2.2 买卖股票的最佳时机 II
- 2.3 最佳买卖股票时机含冷冻期
- 2.4 买卖股票的最佳时机含手续费
- 3. dp 数组定义为买卖操作
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- 3.1 买卖股票的最佳时机 III
- 3.2 买卖股票的最佳时机 IV
- 4. 参考
1. 概述
本文将带大家一起学习一下 LC 上的 6 道关于股票买卖获取最佳收益的问题。这一系列的六道题目都是可以用 DP 的方法解决的（当然有些也可以用贪心的方法做，不在本文讨论范围），我们按照状态定义可以将其分为两大类：
- 一类是将 dp 数组定义为【持有/未持有】股票时的最大收益；
121. 买卖股票的最佳时机
122. 买卖股票的最佳时机 II
309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
714. 买卖股票的最佳时机含手续费
- 一类是将 dp 数组定义为【第 j 次买/卖】股票的最大收益；
123. 买卖股票的最佳时机 III
188. 买卖股票的最佳时机 IV
那么有读者可能会问了，那我到底应该是按照买卖次数还是持有状态来定义 dp 数组呢？很简单，如果题目没有限制买卖次数，那我们就将 dp 数组定义为股票不同持有状态下的最大收益；如果题目限制了买卖次数，比如第123题最多只允许买卖两次，188题最多允许操作 k 次，那么这个时候我们就将 dp 数组定义为买入/卖出的状态；当然我看到网上有些朋友是将股票持有状态和买卖股票的操作定义在一起，写出了这类题目的“通解”，也是可以滴，本文就不做过多探讨～
2. dp 数组定义为状态
121. 买卖股票的最佳时机
122. 买卖股票的最佳时机 II
309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
714. 买卖股票的最佳时机含手续费
2.1 买卖股票的最佳时机
题目链接：121. 买卖股票的最佳时机
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 104
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
- 代码
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if (prices == null || prices.length < 2) { return 0; } int n = prices.length; // dp[0] 未持有股票的最大收益 // dp[1] 持有股票的最大收益 int[] dp = new int[2]; dp[0] = 0; dp[1] = -prices[0]; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices[i]); dp[1] = Math.max(dp[1], 0 - prices[i]); } return dp[0]; } }
2.2 买卖股票的最佳时机 II
题目链接：122. 买卖股票的最佳时机 II
给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。
示例 1：
输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
总利润为 4 。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。
提示：
1 <= prices.length <= 3 * 104
0 <= prices[i] <= 104
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
- 代码
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if (prices == null || prices.length == 0) { return 0; } int n = prices.length; // dp[0] 表示未持有股票的最大收益 // dp[1] 表示持有股票的最大收益 int[] dp = new int[2]; dp[0] = 0; dp[1] = -prices[0]; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices[i]); dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i]); } return dp[0]; } }
2.3 最佳买卖股票时机含冷冻期
题目链接： 309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
示例 2:
输入: prices = [1]
输出: 0
提示：
1 <= prices.length <= 5000
0 <= prices[i] <= 1000
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
- 代码
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if (prices == null || prices.length < 2) { return 0; } int n = prices.length; // dp[i][0] 表示第 i 天结束时持有股票的最大收益 dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]) // dp[i][1] 表示第 i 天结束时未持有股票且不在冷冻期内的最大收益 dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) // dp[i][2] 表示第 i 天结束时未持有股票且在冷冻期内的最大收益 dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i] // 注意：第 i 天结束时处于冷冻期，影响的是第 i + 1 天，第i + 1 天不能买入股票 int[][] dp = new int[n][3]; dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; dp[0][2] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]); dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]; } return Math.max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]); } }
2.4 买卖股票的最佳时机含手续费
题目链接：714. 买卖股票的最佳时机含手续费
给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1：
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
示例 2：
输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6
提示：
1 <= prices.length <= 5 * 104
1 <= prices[i] < 5 * 104
0 <= fee < 5 * 104
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee
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- 代码
class Solution { public int maxProfit(int[] prices, int fee) { if (prices == null || prices.length < 2) { return 0; } int n = prices.length; // dp[0] 未持有股票的最大收益 // dp[0] 持有股票的最大收益 int[] dp = new int[2]; dp[0] = 0; dp[1] = -prices[0]; for (int i = 0; i < n; i++) { dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices[i] - fee); dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i]); } return dp[0]; } }
3. dp 数组定义为买卖操作
123. 买卖股票的最佳时机 III
188. 买卖股票的最佳时机 IV
3.1 买卖股票的最佳时机 III
题目链接：123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
提示：
1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii
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代码
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if (prices == null || prices.length < 2) { return 0; } int n = prices.length; // dp[0] 未操作的最大收益 // dp[1] 第一买入股票的最大收益 // dp[2] 第一卖出股票的最大收益 // dp[3] 第二买入股票的最大收益 // dp[4] 第二卖出股票的最大收益 int[] dp = new int[5]; dp[0] = 0; dp[1] = -prices[0]; dp[2] = 0; dp[3] = -prices[0]; dp[4] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i]); dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] + prices[i]); dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] - prices[i]); dp[4] = Math.max(dp[4], dp[3] + prices[i]); } return dp[4]; } }
3.2 买卖股票的最佳时机 IV
题目链接：188. 买卖股票的最佳时机 IV
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
提示：
0 <= k <= 100
0 <= prices.length <= 1000
0 <= prices[i] <= 1000
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv
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- 代码
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices == null || k == 0 || prices.length < 2) {
return 0;
}
int n = prices.length;
k = Math.min(k, n / 2); // 比如有三天，无法进行完整的两次交易
// dp[0] 表示未进行操作的最大收益（始终为 0）
// dp[1] 表示第一次买入股票的最大收益 dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i])
// dp[2] 表示第一次卖出股票的最大收益（在第一次买入股票的基础上） dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] + prices[i])
// dp[3] 表示第二次买入股票的最大收益（在第一次卖出股票的基础上） dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] - prices[i])
// dp[4] 表示第二次卖出股票的最大收益（在第二次买入股票的基础上） dp[4] = Math.max(dp[4], dp[3] + prices[i])
// ......
// dp[i] = Math.max(dp[i - 1][])
int opetations = 2 * k + 1;
int[] dp = new int[opetations];
// 初始化
dp[0] = 0;
for (int j = 1; j < opetations; j++) {
if ((j & 1) == 1) {
// 奇数次代表买入
dp[j] = -prices[0];
} else {
// 偶数次代表卖出
dp[j] = 0;
}
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < opetations; j++) {
if ((j & 1) == 1) {
// 奇数次代表买入
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] - prices[i]);
} else {
// 偶数次代表卖出
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] + prices[i]);
}
}
}
return dp[opetations - 1];
}
}
4. 参考
- 188. 买卖股票的最佳时机 IV，动态规划解法
- 一个视频解决LeetCode上6道Best Time to Buy and Sell Stock
- 309.最佳买卖股票时机含冷冻期