泰勒级数详解

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
先来感受一下：

定理：
设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有

f(x)=f(a)+f′1!(x−a)+f(2)(a)2!(x−a)2+...+fn(a)n!(x−a)n+Rn(x) f ( x ) = f ( a ) + f ′ 1 ! ( x − a ) + f ( 2 ) ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + . . . + f n ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x )

其中的多项式称为函数在a 处的泰勒展开式，剩余的 Rn(x) R n ( x ) 是泰勒公式的余项，是 (x−a)n ( x − a ) n 的高阶无穷小。
泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果 a=0 的话，就是麦克劳伦公式，即 f(x)=∑Nn=0fn(0)n!xn+Rn(x) f ( x ) = ∑ n = 0 N f n ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) ,这个看起来简单一点，我们下面只讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。

1.多项式的函数图像特点

f(x)=∑Nn=0fn(0)n!xn f ( x ) = ∑ n = 0 N f n ( 0 ) n ! x n 展开来就是 f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+fn(0)n!xn,f(0),f′′(0)2! f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f n ( 0 ) n ! x n , f ( 0 ) , f ″ ( 0 ) 2 ! ,这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。


可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于 Y 轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。
那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？

怎么才能让 x^2 和 x^9 的图像特性能结合起来呢？

我们来动手试试看看系数之间如何压制的：

2.用多项式对 ex e x 进行逼近

ex e x 是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有 e 就是这么任性。
ex=1+x+12!x2+...+1n!xn+Rn(x) e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + . . . + 1 n ! x n + R n ( x )

增加一个 14!x4 1 4 ! x 4 看看

可以看出， 1n!xn 1 n ! x n 不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近 ex e x 。并且 n 越大，起作用的区域距离0越远。

3.用多项式对 sin(x) 进行逼近

sin(x) 是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。
sin(x)=x−13!x3+⋯+(−1)n(2n+1)!x(2n+1)+Rn(x) s i n ( x ) = x − 1 3 ! x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x ( 2 n + 1 ) + R n ( x ) 。

同样的，我们再增加一个 17!x7 1 7 ! x 7 试试。

可以看到 17!x7 1 7 ! x 7 在适当的位置，改变了 x−13!x3+15!x5 x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 的弯曲方向，最终让 x−13!x3+15!x5−17!x7 x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 更好的逼近了 sin(x) s i n ( x ) 。

4.泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系

拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足，在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导，那么至少有一点 θ(a<θ<b) θ ( a < θ < b ) 使等式 f′(θ)=f(a)−f(b)a−b f ′ ( θ ) = f ( a ) − f ( b ) a − b 成立。—-维基百科
数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义：

这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项 Rn(x) R n ( x ) 我们一直没有提。
余项即使用泰勒公式估算的误差，即 f(x)−∑n=0Nf(n)(a)n!(x−a)n=Rn(x) f ( x ) − ∑ n = 0 N f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n = R n ( x )
余项的代数式是， Rn(x)=f(n+1)(θ)(n+1)!(x−a)(n+1) R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( θ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) ( n + 1 ) ，其中 a<θ<x a < θ < x 。是不是看着有点像了？
当 N=0 的时候，根据泰勒公式有， f(x)=f(a)+f′(θ)(x−a) f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( θ ) ( x − a ) ，把拉格朗日中值定理中的 b 换成 x ，那么拉格朗日中值定理根本就是 N=0 时的泰勒公式。
结合拉格朗日中值定理，我们来看看 N=0 的时候，泰勒公式的几何意义：

当 N=0 的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么 N=1,2,⋯ N = 1 , 2 , ⋯ 呢？
这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。
还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？
因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中……四不四很有道理啊？

5.泰勒公式是怎么推导的？

很多同学看到这段时，可能有点看不懂，我在牛顿插值的几何解释是怎么样的？ - 知乎，这个回答里尝试重新作答了。
根据“以直代曲、化整为零”的数学思想，产生了泰勒公式。

如上图，把曲线等分为 n 份，分别为 a1，a2，⋯，an， a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ， 令 a1=a，a2=a+Δx，⋯，an=a+(n−1)Δx a 1 = a ， a 2 = a + Δ x ， ⋯ ， a n = a + ( n − 1 ) Δ x 。我们可以推出（ Δ2，Δ3 Δ 2 ， Δ 3 可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：
f(a2)=f(a+Δx)=f(a)+Δf(x) f ( a 2 ) = f ( a + Δ x ) = f ( a ) + Δ f ( x )
f(a3)=f(a+2Δx)=f(a+Δx)+Δf(a+Δx)=f(a)+2Δf(x)+Δ2f(x) f ( a 3 ) = f ( a + 2 Δ x ) = f ( a + Δ x ) + Δ f ( a + Δ x ) = f ( a ) + 2 Δ f ( x ) + Δ 2 f ( x )
f(a4)=f(a+3Δx)=f(a)+4Δf(x)+6Δ2f(x)+4Δ3f(x)+Δ4f(x) f ( a 4 ) = f ( a + 3 Δ x ) = f ( a ) + 4 Δ f ( x ) + 6 Δ 2 f ( x ) + 4 Δ 3 f ( x ) + Δ 4 f ( x )
也就是说，f(x)全部可以由 a 和 \Delta x 决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限 \Delta x \to 0 ，就可以推出泰勒公式。

6.泰勒公式的用处

多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如 f(x)=2−3x f ( x ) = 2 − 3 x ，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”这时 f(x) 会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到 2−3×4=−10 2 − 3 × 4 = − 10 ，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了…”。但是 ln(x) 阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”—-《微积分之倚天宝剑》
泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把 sin(x) 进行泰勒展开进行计算的。
泰勒公式还可以把问题简化，比如计算， limx→0sin(x)x lim x → 0 s i n ( x ) x ，代入 sin(x) 的泰勒展开有： limx→0sin(x)x=limx→0x+o(x3)x=1 lim x → 0 s i n ( x ) x = lim x → 0 x + o ( x 3 ) x = 1 ，其中其中 o(x3) o ( x 3 ) 是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小， limx→0o(x3)=0 lim x → 0 o ( x 3 ) = 0 。
泰勒公式求高：

以上内容转自：
https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/111173412