拉格朗日插值法

1. 拉格朗日插值法简介

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。

约瑟夫·拉格朗日伯爵（1736 -1813）

2.定义

对某个多项式函数，已知有给定的$k+1$个取值点：$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k)$，其中$x_j$对应着自变量的位置，而$y_j$对应着函数在这个位置的取值。假设任意两个不同的$x_j$都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
$$L(x):=\sum _{j=0}^k{y}_j{\ell }_j(x)$$
其中每个${\ell }_j(x)$为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

$${\ell }_j(x):=\prod _{i=0,i\ne j}^k\frac{x-x_i}{x_j-x_i}=\frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)}\cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j-1})}\frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})}\cdots \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)}$$

拉格朗日基本多项式${\ell }_j(x)$的特点是在$x_j$上取值为1，在其它的点$x_i,i\ne j$上取值为0。

即：对于给定的$n+1$个点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$，对应于它们的次数不超过$n$的拉格朗日多项式$L$只有一个。

3. 证明

3.1 存在性证明

对于给定的$k+1$个点：$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k)$，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点$x_j$取值为1，而在其他点取值都是0的多项式${\ell }_j(x)$。这样，多项式$y_j{\ell }_j(x)$在点$x_j$取值为$y_j$，而在其他点取值都是0。而多项式$L(x):={\sum }_{j=0}^k{y}_{}$