【字符串】字符串的boder和其性质、应用

定义
我们定义, 一个字符串$s$, 它的$border$是"既是它的前缀又是它的后缀", 且不等于$s$本身的串.
真$border$是所有$border$中的最长者.
显然，每个border 其实是KMP算法中, 字符串S的next数组。
性质
记$S_k$即$S_{1...k}$是字符串$S$的一个$boder$，那么这些$border$可以划分成不超过$lo{g}_2|S|$段，每一段是$k$的等差数列
引理 1：若存在一个$border$ $S_k$:那么$|S|-k$为字符串的一个周期。
引理 2：若$p,q$为字符串的周期且$p+q\le \mid S\mid -gcd(p,q)$也为字符串的周期。
应用
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