数学上的一些知识

0 导论

0.1 常用公式

0.1.1 三次方

$$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

0.2 数学符号

1. Z：全体整数
2. N+：正整数
3. N：自然数，非负整数
4. R：实数
5. C：复数
6. Q：有理数
7. D是特定的集合
8. argmin:使后面的式子达到最小值的x的取值，若cosx在π处取得最小值，则argmin(cosx)=π
9. sup:上界.
10. Σ，for循环
11. 双Σ，双for循环

0.3 函数

幂指对正余弦 反三角

0.3.1 指数函数

指数函数随着x的增大，值得增长是所有函数中最快的，即指数增长。

0.3.2 对数函数

运算： lna+lnb=lnab
$$a^3=e^{3lna}$$
ln10/9=ln10-ln9
am=N 以a为底N的对数 logaN=m。
始为基，知为果，求为次。
对N取对数，就是说10的几次等于N

将乘除变为指数的加减。取对数可缩小。

超前滞后

0.3.3 正弦函数

0.4 参数方程

0.5 单位转换

1磅=0.454千克

0.6迪拉克函数

H(x)阶跃函数：

对阶跃函数取微分可以得到δ函数。事实上对于一个不连续的函数取微分都可以出现δ函数。
δ函数定义：
δ（x）=0,(x≠0）

1、极限

1.1 定义

数列极限（ε-N）、函数极限（ε-δ）、无穷极限（ε-X）
Limf(x)=A⇔/等价于/充要f(x)=A+α，其中α→0

1.1.1 数列极限（ε—N）

对于任意ε＞0，都∃N>0,n>N时，有$$|a_n-A|<\epsilon$$,称A为数列{an}的极限，即

1.1.2 函数极限（ε-δ）

对任意ε＞0，都∃δ>0,0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε
称A为函数f(x)当x→a的极限，即

1.1.3无穷极限（ε-X）

1.对任意ε＞0，都∃X>0,x<-X时，有|f(x)-A|<ε
称A为函数f(x)当x→-∞的极限，即

2.对任意ε＞0，都∃X>0,|x|>X时，有|f(x)-A|<ε
称A为函数f(x)当x→+∞的极限，即

1.1.4无穷小

无穷小是一个向0奔跑的变量
通过研究这种向0奔跑的过程，我们可以得到不同无穷小之间的大小关系。
假如说x→0，y→0
当x=0.1时，y=0.07
当x=0.01时，y=0.005.
说明x和y向0奔跑的速度完全是不同的。x和y的函数关系确定了奔跑速度之间的关系。
高阶无穷小，y从一个足球表明向0趋近，x从一个乒乓球表面向0趋近，且x比y跑得快。x就是y的高阶无穷小
也就是说：
无穷小是一种向0奔跑的变量
不同无穷小之间可以具有函数关系
具有函数关系的两个无穷小，在向0奔跑过程中，它们的大小比例趋于一个极限，这个极限就代表了两个无穷下之间的大小关系。
此时x^{2,就是x的高阶无穷小,x}2的权是1,3x^2的权是3。权和阶可以囊括所有无穷小的特点。同时无穷小的倒数无穷大，$4/x^2$就是权为4，阶为2的无穷大。
然后把所有的有限实数表示为0阶的无穷小或无穷大，实数的值代表他们的权值。
形成新的数域：无穷分阶∈。每个数都有权和阶两个属性。所以表示为

其中A到K都代表无穷分阶数域中的数。上半平面为无穷小，下半平面为无穷大。
用a(0)^b表示，a代表权，b代表阶，b>0时是无穷小，称权为a的b阶无穷小，b<0时是无穷大，在下半平面，称权为a的-b阶无穷大。
用a(∞)^b表示，a代表权，b代表阶，b>0时是无穷大，称权为a的b阶无穷大，b<0时是无穷小，在上半平面，称权为a的-b阶无穷小。

1.2.极限的性质

唯一性、保号性、有界性、列与子列

1.2.1保号性

前提：有>0，
条件：当∃δ>0，使0<|x-a|<δ时
结果：则f(x)>0

1.2.2有界性

• 1.函数局部有界
  前提：有
  
  条件：当∃δ>0与M>0，使0<|x-a|<δ时
  结果：则|f(x)|≤M
• 2.数列有界
  前提：有
  
  条件：∃M>0
  结果：使|an|≤M
  数列收敛则有界，数列有界不一定收敛

1.3.极限的运算性质

1.4.极限存在定理

夹逼、单调有界

1.4.1夹逼定理

函数夹逼定理
前提：f(x)≤g(x)≤h(x)
条件：limf(x)=limh(x)=A
结果：limg(x)=A

1.4.2 单调有界必有极限

1.5 无穷小的性质

(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小
(2)无穷小×常数仍是无穷小
(3)有界函数与无穷小之积仍是无穷小
麦克劳林公式


有加有减，有减无减

1.6 连续与间断

1.6.1 连续

1.6.1.1 在一点连续

• f（x）在x=a处连续 即
  

• f(x) 在[a,b]上连续

1.6.1.2 在一段连续

即f(x)在[a,b]内处处连续，同时f(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0).

1.6.2 间断

为什么会间断？
因为不存在而间断，如1/x，或tanx的x=0

1.6.2.1 第一类间断

在一点处，左右极限都∃

1.6.2.2可去间断

f(a-0)=f(a+0)≠f(a)

1.6.2.3跳跃间断

f（a-0）≠f(a+0)

1.6.2.4第二类间断

在一点处，左右极限不都∃

2 导数

2.1 导数定义

Δx→0，$x\to x_0$
前提：有y=f(x),x∈D，x0∈D，x0+Δx∈D，Δy=f（x0+Δx）-f(x0)
条件：若
或者存在
f（x）在x0上的切线方向
结果：y=f(x)在x=x0处可导
导数就是势存在，势的表达形式是极限

• y=f（x）在x=x0处可导的充要是$f{’}_{-}（x_0）$与$f{’}_{+}（x_0）$都存在
  左导数f’-（x0）:

  右导数f’+（x0）：

• 连续可导
  f（x）可导，且f’(x)连续，称之为连续可导

• 可导与连续
  可导一定连续，连续不一定可导

• 奇偶性
  可导奇函数的导为偶函数
  可导偶函数的导为奇函数
  另外：可导偶函数的f’(0)=0,因为偶函数关于y轴对称

2.2导数基本公式

2.2.1幂指对三反三特殊

指

对

三
$(tanx)’=se{c}^{2}x$
$(cotx)’=-cs{c}^{2}x$
(secx)’=tanxsecx
(cscx)’=-cotxcscx
反三

特殊
,

2.2.2复合函数求导

条件：若y=f(x)可导，u=φ（x）,φ’(x)≠0
结果：则y=f[φ（x）]可导，

2.2.3 反函数求导

条件：若X=φ（y）为y=f（x）的反函数
结果：则
而

2.2.4 隐函数求导

• 对$e^x+y=x^2+y^2+1$，求dy/dx
  两边对x求导
  则=

2.2.5 参数方程求导

由确定的函数为 参数方程确定的函数

2.2.6 分段函数求导

2.2.7 高阶求导

3. 微分

y=f(x)
$X、x_0、x_o+\Delta x$皆属于D（特定的集合）
$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x0)$为f(x)在x0处的增量
若Δy=AΔx+o(Δx),称f(x)在$x_0$处可微
AΔx称f(x)在$x_0$处微分
记$dy{|}_{x=x0}=A\Delta x$或$dy{|}_{x=x0}=Adx$
Δy-dy=o(Δx)

• 可导等价于可微
• 可导（可微）必连续

3.1中值定理

3.1.1 罗尔中值定理

前提：f(x)在[a,b]闭内连续，开内可导
条件：若f(a)=f(b)
结果：∃ξ∈开（a,b）,使f’(ξ）=0

3.1.2 拉格朗日中值定理

前提：f(x)在[a,b]闭内连续，开内可导
结果：∃ξ∈开（a,b），使

证明：设K法,转化为罗尔问题
设
f(b)-f(a)=kb-ka
f(b)-kb=f(a)-ka
设F（x）=f(x)-kx
则F（b）=F(a)
则∃F’(ξ)=0，即f’(ξ)-k=0,即f’(ξ)=k
证得

3.1.3柯西中值定理

前提：f(x)与g(x)在[a,b]闭内连续，开内可导
条件：g’(x)≠0（a 结果：∃ξ∈开（a,b），使

证明：设K法，转化为罗尔问题

3.1.4泰勒中值定理

拉格朗日型
前提f(x)在$x=x_0$的邻域内n+1阶可导

（ξ在x与x0之间）
皮尔诺型

note：泰勒展开揭示了一个函数立于一点预测任何一点的值。

3.2 单调性

定理： 在区间I内，f’>0，则f(x)在区间I内单增
在区间I内，f’<0，则f(x)在区间I内单减

3.3极值的判定

1.求f’(x)，求出f(x)的驻点以及不可导点。
2.判别法

3.3.1第一充分条件

①　存在δ＞0
②　当x∈($x_0$-δ,x0)时，有f’(x)＞0，当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，有f’(x）＜0，则$x=x_0$为f(x)的极大值点。
③　当$x\in (x_0-\delta ,x0)$时，有f’(x)<0，当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，有f’(x）>0，则$x=x_0$为f(x)的极小值点。
一阶势由正变负为极大，一阶势由为负变正为极小

3.3.2第二充分条件

①　函数f(x)在$x=x_0$处二阶可导，且f’(x)=0,
②　F”(x)>0$x=x_0$为f(x)的极小值点
③　F”(x)<0,$x=x_0$为f(x)的极大值点
一阶势为零，二阶势为增（一阶势由负变正）为极小
一阶势为零，二阶势为减（一阶势由正变负）为极大

3.3.3泰勒公式判别法

3.4凹凸性与拐点的判别

• 凹函数 x1≠x2
  
• 凸函数x1≠x2
  
  

判别法：
当x∈I时，f’’>0，则y=f(x)为凹函数
当x∈I时，f’’<0，则y=f(x)为凸函数

• 拐点
  在区间I上，若f(x)在$x=x_0$两侧的凹凸性不同，则$x=x_0$处有曲线f(x)的拐点.
  判别法：
  条件：若f(x)三阶可导，f’’(x0)=0，但f’’’(x0)≠0
  结果：则x=x0处有曲线f(x)的拐点.

3.5渐近线

3.5.1 水平渐近线

条件：

结果：称y=A 为f(x)的水平渐近线

3.5.2 铅直渐近线

条件；若或f(a-0)=∞，或f(a+0)=∞
结果：称x=a 为f(x)的铅直渐近线

3.5.3 斜渐近线

条件：若，而
结果；则y=ax+b为f(x)的斜渐近线

3.6弧微分，曲率，曲率半径

弧微分公式

曲率公式

曲率半径公式
R=1/k

4.不定积分

4.1定义

不定积分是一种操作结果
条件：若F(x)为f(x)的原函数
结果：则f(x)的所有原函数F(x)+C为f(x)的不定积分
即∫f(x)dx=F(x)+C

4.2常见的不定积分

幂指对三反三

4.2.1 幂

其中a为常数且 a ≠ -1

4.2.2指

4.2.3 三

∫ cosx dx = sinx + C
∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C
∫ tanx dx = - ln|cosx| + C
∫ secx dx =ln|secx + tanx| + C
∫ cscx dx =ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^(2)x dx = tanx + C
∫ csc²x dx = - cotx + C
∫ secxtanx dx = secx + C
∫ cscxcotx dx = - cscx + C

4.2.4 反三

常数在前

常数在后

4.3不定积分的计算

4.3.1、换元法

4.3.2、三角代换

4.3.3、倒代换

4.3.4、分部积分法

条件：若u(x),v(x)连续可导
结果：则∫udv=uv-∫vdu
推导： (uv)‘=u’v+uv’ 故u’v=(uv)‘-uv’
两边积分得：∫ u’v dx=∫ (uv)’ dx - ∫ uv’ dx
即：∫udv=uv-∫vdu，这就是分部积分公式

适用对象

4.3.5、有理函数积分

有理函数R：R(x)=,其中P、Q为多项式
真分式——将R（x）拆成两部分和
(1)

(2)

因为分母上有二次，故设Bx+C
(3)

多项式除法

5.定积分

5.1 定义

前提：y=f(x)在[a,b]有界
化整为零：$a=x_0<x_1<...<x_n=b$
$[a,b]=[x_0,x_1]U[x_1,x_2]U...U[x_{n-1},x_n]$
$1\le i\le n,\Delta x_i=x_i-x_{i-1},{\xi }_i\in [x_{i-1}，x_i],s_i=f({\xi }_i)\Delta x_i$
积零为整：取λ=，若∃

5.2 基本性质

1)区间可拆

2)函数不等式，在[a,b]上，f(x)≥g(x)，则

3)绝对值不等式，若f(x)在[a,b]上连续，则

4)有界不等式，若f(x)在[a,b]上，m≤f(x)≤M，则

5)积分中值定理
条件：若f(x)在[a,b]闭内连续
结果：则∃ξ∈[a,b],使

5.3.基本原理

5.3.1定理

5.3.1.1积分导数定理

条件：设f(x)在[a,b]闭内连续，令

结果：Φ’(x)=f(X)
注
故

中的两个x的含义不同；中的两个x含义相同

5.3.1.2牛顿-莱布尼兹公式

f(x)在[a,b]内连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则

5.3.1.3积分区间对称性

5.3.1.4 定积分存在定理

区间有限，函数有界

5.3.2三角函数积分性质

(1)条件：设f(x)在[0,1]连续
结果：

特别：

(2)条件：设f(x) 在[0,1]上连续

(3)条件：f(x)在[0,1]上连续

(4)条件；f(x)在[0,1]上连续

5.3.3 周期函数积分性质

条件: f(x)是以T为周期的连续函数

5.4.定积分的计算

5.4.1换元积分法

条件：f(x)在[a,b]连续，令x=φ（t）,φ（α）=a
结果:

5.4.2分部积分法

条件：有u(x),v(x)，在[a,b]上连续可导
结果：则

5.5 广义积分

5.5.1区间无限

5.5.1.1 f(x)在[a,+∞)上连续

定义：
前提：对于

条件：若存在，且＝A，
结果：则收敛，且=A

• 极限判别法：
  条件：若，且k>1
  结果：则收敛
  条件：若，且k≤1，或者M>0
  结果：则发散

5.5.1.2 f(x)在（-∞，a]上连续

定义：
前提：对于

条件：若存在，且＝A，
结果：则收敛，且=A
极限判别法：
条件：若，且k>1
结果：则收敛
条件：若，且k≤1，或者M>0
结果：则发散

5.5.1.3 f(x)在（-∞，+∞）上连续

当与皆收敛时，广义积分收敛

当x→±∞时，k>1,则原函数如1/(x^2)收敛
当x→某个数时，k≤1，则原函数如(1/x)收敛
如：求解

note:由于±无穷区间并不是严格对称的，因为∞+1=∞

5.5.2区间有限的无界函数

5.5.2.1 f(x)在(a,b]上连续，f(x)在x=a的右邻域内无界

定义：
前提：对于任意ε>0，有
条件：若存在，且=A
结果：则称广义积分收敛，且=A
极限判别法：
条件：若，且k<1
结果：则收敛
条件：若，且k≥1
结果：则发散

5.5.2.2 f(x)在[a,b)上连续，f(x)在x=b的左邻域内无界

定义：

极限判别法：

5.5.2.3 f(x)在[a,c)U(c,b]上连续，在x=c的去心邻域内无界

5.6.定积分的应用

5.6.1面积

元素法
(1)极坐标面积

(2)双极坐标面积

(3)旋转曲面的面积

若

5.6.2体积

(1)绕x

(2)绕y

(3)几何体位于x=a与x=b之间

5.6.3曲线长

6.4常见特殊曲线
①　圆一
直角坐标：

极坐标：r=R

②　圆二

③　圆三
直角坐标：x²+y²=2Ry
极坐标：r=2Rsinθ
④　摆线
参数方程：

⑤　心形线
极坐标：r=a(1+cosθ)

⑥　双妞线
直角坐标：（x²+y²)²=a²(x²-y²)
极坐标：r²=a²cos2θ

⑦　星形线
直角坐标：

参数方程：

6.多元函数微分学

6.1多元函数极限

6.2多元函数连续

6.3偏导数及其求法

6.3.1梯度

对于多元函数f(X)=f(x1,…,xn)来说，它们的偏导数就是梯度

多元函数f(x)在x0处的泰勒级数是：

6.3.2 梯度下降法

从数学上来说，梯度方向是函数增长速度最快的方向。
因此，梯度的反方向就是函数减少最快的方向
假设，希望求解的目标函数f(X)=f(x1,…,xn)的最小值
一个初始点

基于学习率η>0构造一个迭代过程：
当i≥0时，迭代次数

，对于x1的全部迭代，i变动
…

其中：

一旦达到收敛条件，迭代就结束。
有可能lim(i→∞)使函数值→0.
反之，如果要求最大值，就沿着梯度的反方向前进。

无论计算最大还是最小，都需要构建一个迭代关系：
对于所有的i,都满足$x^{i+1}=g(x^i)$
函数g可以表达为

6.4全微分

6.5连续、可偏导、可全微的关系

定理一：若函数f(x,y)在点$（x_0,y_0）$处可微，则该点处既连连续又可偏导，反之不对。
定理二：若f(x,y)两个偏导数连续，则f(x,y)一定可微，反之不对
定理三：若f(x,y)具有二阶连续的偏导数，则$f’{’}_{xy}=f’{’}_{yx}(x,y)$

6.6求偏导类型

6.6.1显函数求偏导

显函数求偏导即z=f(x,y)对x,y求偏导
对x求偏导时，只需要将y看成常数，

6.6.2复合函数求偏导

1.第一种情况：

2.第二种情况：

3.第三种情况：

6.6.3隐函数求偏导

1.一个约束的情形：
前提：设F(x,y,z)=0在的邻域内连续可偏导。
由F(x,y,z)=0可唯一确定具有具有连续偏导数的二元函数z=f(x,y)

2.多个约束的情形：

6.7无条件极值与条件极值

6.7.1二元函数极值定义

对于二元函数z=f(x,y)；
设$(x,y)\in D，（x_0,y_0）\in D$，
若∃δ>0，当0<<δ时，有$f(x,y)<f（x_0,y_0）$
称点$(x_0,y_0)$为z=f(x,y)的极大值点，$f(x_0,y_0)$称函数f(x,y)的极大值
极小值同理

6.7.2二元函数无条件极值步骤

6.7.3二元函数有条件极值步骤

对二元函数z=f(x,y),在约束条件（第三条件）φ(x,y)=0下的极值

• 方法一：拉格朗日乘数法
  令F=f(x,y)+λφ(x,y)
  有：
  

求出（x,y）的值，确定最优解。

• 方法二：转化为一元函数极值
  由φ(x,y)=0求y=y(x),代入z=f(x,y),得z=f[x,y(x)]
  再求一元函数z=f[x,y(x)]极值
• 方法三：参数方程
  

7.微分方程

7.0定义

微分方程：含有导数或微分的方程
微分方程阶数：导数或微分的最高阶
微分方程的解：使微分方程成立的函数
特解：不含任意常数的解
通解：常数个数与阶数相等的解
线性：符合可加性与齐次性的变换

Note：也可以用y=f(ax)=af(x）来表示齐次。幂指对皆为齐次。
非齐次：Q(x) 为y的零次
Note：
齐次坐标：如果一个二维点（x,y）与形如（kx,ky,k）的所有三元坐标都是等价的
它们就是这个坐标的齐次坐标
将齐次坐标，除以第三个数就可以得到原始二维坐标
但，注意K≠0，（x,y,0）表示∞远
线性变换：
通常用一个矩阵来表示线性变换
即将直线上的点（向量）变换到另一根直线上去
相反，角，长度，则都不能维持原样

7.1一阶微分方程

7.1.1可分离变量的微分方程

7.1.2齐次微分方程

7.1.3一阶齐次线性微分方程

7.1.4一阶非齐次线性微分方程

7.1.5伯努利方程

7.1.6全微分方程

7.2可降阶的高阶微分方程

7.2.1 n阶型

n阶微分方程：$y^{(n)}=f(x)$
解法：n次积分

7.2.2 缺y型

7.2.3缺x型

7.3高阶微分方程

7.3.1n阶齐次线性微分方程

7.3.2n阶非齐次线性微分方程

7.3.3高阶线性微分方程解的结构

7.3.4二阶常系数齐次线性微分方程的解

二级常系数齐次线性微分方程：y’’+py’+qy=0
求解特征方程：λ²+pλ+q=0

7.3.5二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二级常系数非齐次线性微分方程：y’’+py’+qy=f(x)

• 当$f(x)=P_n(x)e^{kx}$
  情形一：k非特征值
  

情形二：k与一个特征值相同

情形三：k与两个特征值相同

• 当$f(x)=e^{ax}[P(x)cos\beta x+P’(x)sin\beta x]$
  
  Note:按右边的形式假设，正弦余弦都有，多项式以最高次为准
  如：$y’’-2y’+2y=x{e}^{x}cosx$
  特征方程：λ²-2λ+2=0 解得：${\lambda }_{1,2}=1\pm i$ ,而α=1，β=1
  设：$y_0(x)=x{e}^x[(ax+b)cosx+(cx+d)sinx]$

7.4不一样的向量

7.4.1线性变换

线性变换的代数定义：
数学中，只要符合下面两个性质的就是线性变换（T代表变换）

Note：线性变换就是对一个向量的旋转、缩放、斜切；
Note：线性变换后，原本一条直线上等距的点仍然在同一直线且等距；所有起点位于原点的向量经过变换后起点仍然位于原点。（平移不是线性变换。）
如：两个多项式函数 f(x)=1+2x+3x² g(x)=2+3x+4x²
验证：
可加性：D（f(x)+g(x)）=D(f(x))+D(g(x))=5+14x
齐次性：D（af(x)）=aD(f(x)=a(2+6x)
故：D为线性变换
同时，D的多项式组合$aD+b{D}^2+c{D}^n$也是线性变换

7.4.2微分算子D的线性

对于多项式函数：f(x)=1+2x+3x²

对应的图像：

图像上通过D矩阵把投影到了1~x平面上

此时D也是一个线性变换

7.4.3线性微分方程

设：L为D的多项式组合，L 为线性变换
L=

定义线性微分方程： L(y)=f(x)
当f(x)=0时，为齐次线性微分方程： L(y)=0
根据特征值和特征向量的定义，当L=D有：

同理：对于L=D²-2D-8

7.5用矩阵求解二阶齐次线性微分方程

二阶齐次线性微分方程：

定义向量：

…
现在讨论的产生
设

对于一个一阶齐次线性微分方程：y’+ky=0
定义：S=D+kI ,D为微分算子——求导，I为单位算子——不变
则: S(y)=(D+kI)(y)=y’+ky
二阶微分方程可以看做零个一阶算子S相乘的结果，$s^{(2)}=s\times s$
即：

7.重积分
7.1二重积分定义
曲顶柱体如下图所示

曲顶柱体的俯视图如下

dσ条的体积示意图：

dσ片的体积：
固定x,体积为： ∫f(x,y)dσ

重新在x维度上积分：
Note:其中z=f(x,y)是曲顶的坐标，同时也是曲顶柱体的高；
Note：曲顶柱体是曲顶在x-y平面上的投影
7.2二重积分性质
1.普通对称性 D区域关于y轴对称.

Note：底面积相同，高相等或相反（将x,y与-x,y代入z=f(x,y)内，相等即两倍，相反即为）
2.D区域关于x轴对称

例子：
正方形为区域D，|x|≤1，|y|≤1
分为四个区域Dk（k=1.2.3.4）
问：中Ik的最大值为？
对于D1, y始终为正，则yexs始终为正，则I1始终为正
对于D2，为0
对于D3，y始终为负
对于D4，为0

2.轮换对称性
引子：
（1）

是否相等？依然相等
积分值与用何字母无关
x,y只是一个衡量符号（仅仅改变了x、y轴的位置）
（2）

巧合：区域D依然不变，即关于y=x对称
定义：若将D中的x、y对调，发现D不变
则
例子应用：D={（x,y）|x²+y²≤1，x≥0，y≥0}
算：I=
轮换I=
故2I=∬（a+b）dxdy
7.二重积分计算
7.4二重积分应用

极值

判别法：
一. 一阶导数为0，二阶导数大于零为极小。
一阶导数为0，二阶导数小于零为极大。
二. 存在δ＞0
当x∈(x0-δ,x0)时，有f’(x)＞0，当x∈(x0,x0 +δ)时，有f’(x）＜0，则x=x0为f(x)的极大值点。
当x∈(x0-δ,x0)时，有f’(x)<0，当x∈(x0,x0 +δ)时，有f’(x）>0，则x=x0为f(x)的极小值点。
一阶导由正变负为极大，一阶导由为负变正为极小

4.极限存在定理

两个重要极限

5.极限计算

常用的等价无穷小

向量

内积

内积：先模投影，再模相乘，(x,y)=|y||x|cos.

期望

泰勒展开

欧拉公式

误差

均方根误差

标准差

正态分布
高斯白噪声指的是概率密度函数服从正态分布的噪声，高斯分布。记为N（μ，σ²）,μ为数学期望，σ²为方差，σ²=1时称为标准正态分布。
高斯分布的一维概率密度：

分布图

矩阵论

行列式

对调矩阵的两行不变；——行列式变负
矩阵的某行乘以非零常数k不变；——行列式行列提取
矩阵某行的f(λ)倍加到另一行； ——行列式子相同

逆矩阵

伴随矩阵

adj(A)
余子式：在行列式|A|中去掉第i行和第j列、余下元素记为Mij，称Mij为元素aij的余子式。
代数余子式：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$称元素$a_{ij}$的代数余子式。
记伴随矩阵：

共轭矩阵

实部相等，虚部互为相反数。

正交矩阵

设Q为n阶矩阵，若QTQ=E，称Q为正交矩阵；正交矩阵性质：若Q为正交矩阵，QT=Q-1，Q的转置等于Q的逆

实对称矩阵

A的转置等于A
a. A的特征值都是实数
b. 不同特征值对应的特征向量正交
c. 一定可以相似对角化
Hermit矩阵：A^H=A,A为n*n的矩阵

复变函数基础

• 原式：F=a+jb

• 三角形式：
  

• 指数形式：
  

• 极坐标形式：
  
  
  就是模为|F|角度为θ的复数。

复数乘除

Arg 复数的辐角

θ是F的辐角，记为θ=arg(F)，F=r(cosθ+jsinθ）

范数