【高等数学】微分中值定理
文章目录
- 1、极值
- 2、费马引理
- 3、罗尔定理
- 4、拉格朗日中值定理
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- 4.1用拉格朗日定理证明基本结论
- 5、柯西中值定理
- 6、微分中值定理的意义
- 7、三大中值定理的意义
1、极值
若 ∃ δ > 0 ∃δ>0 ∃δ>0，使得
∀ x ∈ U ( x 0 , δ ) ∀x\in U(x_0,δ) ∀x∈U(x0,δ)恒有 f ( x ) ≥ f ( x 0 ) , f(x)\geq f(x_0), f(x)≥f(x0),则称 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0取极小值
∀ x ∈ U ( x 0 , δ ) ∀x\in U(x_0,δ) ∀x∈U(x0,δ)恒有 f ( x ) ≤ f ( x 0 ) , f(x)\leq f(x_0), f(x)≤f(x0),则称 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0取极大值
也就是说，这一点是不是极值是根据这一点左右区间中的值决定的
在上图中，我们在极值点做一条切线，几何上切线的斜率很明显为0
2、费马引理
若 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处取得极值，且 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处可导，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
【证明】
不妨假设取得极大值
Δ x > 0 , lim Δ x → 0 + f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f + ′ ( x ) ≤ 0 \Delta x>0,\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'_+(x)\leq 0 Δx>0,limΔx→0+Δxf(x0+Δx)−f(x0)=f+′(x)≤0
Δ x < 0 , lim Δ x → 0 − f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f − ′ ( x ) ≥ 0 \Delta x<0,\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'_-(x)\geq 0 Δx<0,limΔx→0−Δxf(x0+Δx)−f(x0)=f−′(x)≥0
0 ≤ f ′ ( x 0 ) ≤ 0 = 0 0\leq f'(x_0)\leq0=0 0≤f′(x0)≤0=0
3、罗尔定理
条件：
(1)、 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续
(2)、 f f f在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导
(3)、 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)
若满足上述三个条件，则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) , \exist\xi\in(a,b), ∃ξ∈(a,b),使 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0
如图：
【证明】
∵ f ( x ) ∵f(x) ∵f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续
∴ ∴ ∴存在最大值M与最小值m
①、若 m = M ⇛ f ( x ) = m = M , f ′ ( x ) = 0 m=M\Rrightarrow f(x)=m=M,f'(x)=0 m=M⇛f(x)=m=M,f′(x)=0
②、若 m < M m
则m和M至多一个在端点
不妨设 ξ ∈ ( a , b ) , f ( ξ ) = m \xi\in(a,b),f(\xi)=m ξ∈(a,b),f(ξ)=m
f ( x ) ≥ m f(x)\geq m f(x)≥m
即存在极小值
由费马引理证得： f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0
但是，罗尔定理有一个非常特殊的要求两端点相等，在实际运用中很多时候都不能满足这个要求，人们就思考，是否能把罗尔定理进行推广，让它更具有普遍性呢？
于是数学家就发现了接下来得定理：拉格朗日中值定理
4、拉格朗日中值定理
拉格朗日的条件就是在罗尔定理的基础上把两端点相等给去掉了
条件：
(1)、 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续
(2)、 f f f在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导
我们连接 f ( a ) 与 f ( b ) f(a)与f(b) f(a)与f(b)做一条直线，那么至少存在一点 ξ \xi ξ的切线平行于这条直线
连接两端点的直线斜率： f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( ξ ) ⇛ f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\Rrightarrow f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) b−af(b)−f(a)=f′(ξ)⇛f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
结论：若满足(1)(2),则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) , \exist \xi\in(a,b), ∃ξ∈(a,b),使 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
而且我们可以把这个式子改写一下：
∵ f ′ ( ξ ) = f ′ ( a + ( ξ − a ) ) = f ′ [ a + ξ − a b − a ( b − a ) ] = f ′ [ a + θ ( b − a ) ] ( 0 < θ < 1 ) ∵f'(\xi)=f'(a+(\xi-a))=f'[a+\frac{\xi -a}{b-a}(b-a)]=f'[a+θ(b-a)](0<θ<1) ∵f′(ξ)=f′(a+(ξ−a))=f′[a+b−aξ−a(b−a)]=f′[a+θ(b−a)](0<θ<1)
拉格朗日推论： f ( b ) − f ( a ) = f ′ [ a + θ ( b − a ) ] ( b − a ) , ( 0 < θ < 1 ) f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a),(0<θ<1) f(b)−f(a)=f′[a+θ(b−a)](b−a),(0<θ<1)
此时设 b = x 0 + Δ x , a = x 0 b=x_0+\Delta x,a=x_0 b=x0+Δx,a=x0
有限增量公式： f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 + θ Δ x ) Δ x = Δ y ( 0 < θ < 1 ) f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0+θ\Delta x)\Delta x=\Delta y(0<θ<1) f(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0+θΔx)Δx=Δy(0<θ<1)
【证明拉格朗日定理】
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) ⇛ f ′ ( ξ ) − f ( b ) − f ( a ) b − a = 0 f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\Rrightarrow f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)⇛f′(ξ)−b−af(b)−f(a)=0
构造 F ( x ) = f ( x ) − f ( b ) − f ( a ) b − a x F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x F(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)x
F ( a ) = f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a a = b f ( a ) − a f ( a ) − a f ( b ) + a f ( a ) b − a = b f ( a ) − a f ( b ) b − a F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a=\frac{bf(a)-af(a)-af(b)+af(a)}{b-a}=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a} F(a)=f(a)−b−af(b)−f(a)a=b−abf(a)−af(a)−af(b)+af(a)=b−abf(a)−af(b)
F ( b ) = f ( b ) − f ( b ) − f ( a ) b − a b = b f ( b ) − a f ( b ) − b f ( b ) + b f ( a ) b − a = b f ( a ) − a f ( b ) b − a F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b=\frac{bf(b)-af(b)-bf(b)+bf(a)}{b-a}=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a} F(b)=f(b)−b−af(b)−f(a)b=b−abf(b)−af(b)−bf(b)+bf(a)=b−abf(a)−af(b)
∵ F ( a ) = F ( b ) ∵F(a)=F(b) ∵F(a)=F(b)
根据罗尔定理：
∴ F ′ ( ξ ) = f ′ ( ξ ) − f ( b ) − f ( a ) b − a = 0 ⇛ f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) ∴F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\Rrightarrow f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) ∴F′(ξ)=f′(ξ)−b−af(b)−f(a)=0⇛f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
证毕
4.1用拉格朗日定理证明基本结论
推论1：设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上连续，在 I I I内可导，则在 I I I上 f ( x ) = C ⇚ ⇛ f ′ ( x ) = 0 f(x)=C\Lleftarrow\Rrightarrow f'(x)=0 f(x)=C⇚⇛f′(x)=0
【证明】
f ( x ) = C ⇚ f ′ ( x ) = 0 f(x)=C\Lleftarrow f'(x)=0 f(x)=C⇚f′(x)=0
任取 x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) − f ( x 2 ) = f ′ ( ξ ) ( x 2 − x 1 ) = 0 x_1,x_2\in I,f(x_1)-f(x_2)=f'(\xi)(x_2-x_1)=0 x1,x2∈I,f(x1)−f(x2)=f′(ξ)(x2−x1)=0
∴ f ′ ( x ) = 0 ⇛ f ( x ) = C ∴f'(x)=0\Rrightarrow f(x)=C ∴f′(x)=0⇛f(x)=C
证毕
推论2：当 x > 0 x>0 x>0时， x 1 + x < ln ( 1 + x ) < x \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)
【证明】
ln ( 1 + x ) = ln ( 1 + x ) − ln 1 \ln(1+x)=\ln(1+x)-\ln1 ln(1+x)=ln(1+x)−ln1
ln ( 1 + x ) − ln 1 = x ξ ( 1 < ξ < 1 + x ) \ln(1+x)-\ln1=\frac{x}{\xi}(1<\xi <1+x) ln(1+x)−ln1=ξx(1<ξ<1+x)
令 ξ = 1 \xi=1 ξ=1(放大):
ln ( 1 + x ) − ln 1 < x \ln(1+x)-\ln1
令 ξ = 1 + x ( 缩小 ) : \xi=1+x(缩小): ξ=1+x(缩小):
ln ( 1 + x ) − ln 1 > x 1 + x \ln(1+x)-\ln1>\frac{x}{1+x} ln(1+x)−ln1>1+xx
故： x 1 + x < ln ( 1 + x ) < x \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)
证毕
5、柯西中值定理
柯西定理的思想与拉格朗日定理的思想是很像的，唯一不同的是柯西定理把求函数变成了求参数方程， y = f ( t ) , x = F ( t ) y=f(t),x=F(t) y=f(t),x=F(t)
若：
(1)、 f , F f,F f,F在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续
(2)、 f , F f,F f,F在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导，且 ∀ x ∈ ( a , b ) , F ′ ( x ) ≠ 0 \forall x\in(a,b),F'(x)≠0 ∀x∈(a,b),F′(x)=0
则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exist\xi\in(a,b) ∃ξ∈(a,b),使 f ( b ) − f ( a ) F ( b ) − F ( a ) = f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)
在这个结论中，左边的式子求的是连接两端点的直线斜率，右边 式子为与连接两端点的直线平行的那一点 ξ \xi ξ
F ′ ( x ) ≠ 0 F'(x)≠0 F′(x)=0的作用：
1、保证了等式右边分母不为0
2、保证了等式左边分母不为0
因为如果左边分母为0则 F ( b ) = F ( a ) F(b)=F(a) F(b)=F(a),根据罗尔定理: F ′ ( x ) = 0 F'(x)=0 F′(x)=0，加了 F ′ ( x ) ≠ 0 F'(x)≠0 F′(x)=0则限制这种情况的发生
【证明柯西中值定理】
f ( b ) − f ( a ) F ( b ) − F ( a ) = f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) ⇛ [ f ( b ) − f ( a ) ] F ′ ( ξ ) − [ F ( b ) − F ( a ) ] f ′ ( ξ ) = 0 \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\Rrightarrow [f(b)-f(a)]F'(\xi)-[F(b)-F(a)]f'(\xi)=0 F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)⇛[f(b)−f(a)]F′(ξ)−[F(b)−F(a)]f′(ξ)=0
令 φ ( x ) = [ f ( b ) − f ( a ) ] F ( x ) − [ F ( b ) − F ( a ) ] f ( x ) φ(x)= [f(b)-f(a)]F(x)-[F(b)-F(a)]f(x) φ(x)=[f(b)−f(a)]F(x)−[F(b)−F(a)]f(x)
φ ( a ) = f ( b ) F ( a ) − f ( a ) F ( a ) − F ( b ) f ( a ) + F ( a ) f ( a ) = f ( b ) F ( a ) − F ( b ) f ( a ) φ(a)=f(b)F(a)-f(a)F(a)-F(b)f(a)+F(a)f(a)=f(b)F(a)-F(b)f(a) φ(a)=f(b)F(a)−f(a)F(a)−F(b)f(a)+F(a)f(a)=f(b)F(a)−F(b)f(a)
φ ( b ) = f ( b ) F ( b ) − f ( a ) F ( b ) − F ( b ) f ( b ) + F ( a ) f ( b ) = f ( b ) F ( a ) − F ( b ) f ( a ) φ(b)=f(b)F(b)-f(a)F(b)-F(b)f(b)+F(a)f(b)=f(b)F(a)-F(b)f(a) φ(b)=f(b)F(b)−f(a)F(b)−F(b)f(b)+F(a)f(b)=f(b)F(a)−F(b)f(a)
φ ( a ) = φ ( b ) φ(a)=φ(b) φ(a)=φ(b)
根据罗尔定理：
φ ′ ( ξ ) = [ f ( b ) − f ( a ) ] F ′ ( ξ ) − [ F ( b ) − F ( a ) ] f ′ ( ξ ) = 0 ⇛ f ( b ) − f ( a ) F ( b ) − F ( a ) = f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) φ'(\xi)=[f(b)-f(a)]F'(\xi)-[F(b)-F(a)]f'(\xi)=0\Rrightarrow \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} φ′(ξ)=[f(b)−f(a)]F′(ξ)−[F(b)−F(a)]f′(ξ)=0⇛F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)
证毕
6、微分中值定理的意义
1、微分中值定理建立局部和整体的关系
我们以拉格朗日中值定理为例： f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) b−af(b)−f(a)=f′(ξ)
上述式子中，左边为 区间函数改变量 自变量改变量 \frac{区间函数改变量}{自变量改变量} 自变量改变量区间函数改变量,这是一个整体的概念
而 f ′ ( ξ ) f'(\xi) f′(ξ)表示的是一点上的变化率，这是一个局部的概念
而微分中值定理把这个整体和局部联系起来了
2、微分中值定理建立函数和导数的关系
7、三大中值定理的意义
柯西中值定理： f ( b ) − f ( a ) F ( b ) − F ( a ) = f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)
此时我们设 F ( x ) = x F(x)=x F(x)=x,就得到了拉格朗日中值定理： f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) b−af(b)−f(a)=f′(ξ)
说明拉格朗日定理是柯西中值定理的特例！
如果我们令拉格朗日中值定理中的 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)，就得到了罗尔中值定理 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0
说明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例！
