牛客练习赛59.E 石子搬运(数据结构优化dp)

传送门

分析

dp状态表示:f[i][j]表示前i个物品搬运了j次的最小代价。
因为第x个物品搬n次是可以 o ( 1 ) o(1) o(1)算出来的。

LL calc(int x, int n)
{
    if (x <= n)
        return 1ll * x;
    int cur = x / n, tmp = x -= cur * n;
    return 1ll * cur * cur * (n - tmp) + 1ll * tmp * (cur + 1) * (cur + 1);
}

但是如果暴力转移的话,复杂度太高。
看到题解大多数人是线段树优化。
这里有一种 o ( n 2 ) o(n^2) o(n2)的dp方法。(非原创,感谢聚聚)
发现f[i-1]转移到f[i]是有决策单调性的(最优转移是单调的)
牛客练习赛59.E 石子搬运(数据结构优化dp)_第1张图片
如果f[i-1][x]不是f[i][j]的最优转移,那么f[i-1][x]必不可能是f[i][j+1]的最优转移。
简单证明:
1.f[i-1][i-1 ~ m]是单调递减的(搬运前i-1堆,次数越多代价越小)
2.calc(i,1 ~ m)是单调递减的(搬运第i堆,次数越多代价越小)
f[i-1][x]不是f[i][j]的最优转移,那么f[i-1][x]必不可能是f[i][j+1]的最优转移,因为假设f[i-1][x+x']f[i][j]的最优转移,存在f[i-1][x+x'] < f[i-1][x] || calc(i,更大的数) < calc(i,更小的数),符合单调性。
故可以用单调队列优化,每次修改之后重新做dp。

代码

#include 

using namespace std;
//-----pre_def----
const double PI = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
#define fir(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define rif(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define endl '\n'
#define init_h memset(h, -1, sizeof h), idx = 0;
#define lowbit(x) x &(-x)

//---------------
const int N = 4e2 + 10;
int n, m, d[N], q[N], hh, tt;
LL f[N][N]; //到了第i件物品,用了j次,最小代价

LL calc(int x, int n)
{
    if (x <= n)
        return 1ll * x;
    int cur = x / n, tmp = x -= cur * n;
    return 1ll * cur * cur * (n - tmp) + 1ll * tmp * (cur + 1) * (cur + 1);
}

void func()
{
    // n*n
    // init+单调队列优化
    fir(i, 1, n) f[1][i] = calc(d[1], i);
    fir(i, 2, n)
    {
        //利用单调队列线性找到最优转移
        q[hh = tt = 1] = i - 1;
        fir(j, i, m)
        {
            while (hh < tt && f[i - 1][q[hh]] + calc(d[i], j - q[hh]) >= f[i - 1][q[hh + 1]] + calc(d[i], j - q[hh + 1]))
                hh++;
            f[i][j] = f[i - 1][q[hh]] + calc(d[i], j - q[hh]);
            q[++tt] = j;
        }
    }
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    int StartTime = clock();
#endif
    scanf("%d%d", &n, &m);
    fir(i, 1, n) scanf("%d", &d[i]);
    int q;
    scanf("%d", &q);
    while (q--)
    {
        int x, v;
        scanf("%d%d", &x, &v);
        d[x] = v;
        func();
        printf("%lld\n", f[n][m]);
    }
#ifndef ONLINE_JUDGE
    printf("Run_Time = %d ms\n", clock() - StartTime);
#endif
    return 0;
}

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