【管理运筹学】第 10 章 | 排队论（2，到达时间间隔的分布和服务时间的分布）

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引言

解决排队问题，首先要根据原始资料做出顾客到达时间间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法（如 ${\chi }^2$ 检验）以确定属于哪种分布理论，并估计它的参数值。

常见的理论分布有普阿松分布、负指数分布和爱尔朗（Erlang）分布。

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一、普阿松分布

其实就是概率论里的泊松分布，这样的翻译我还是头一次见。

设 $N(t)$ 为在时间区间 $[0,t]$ 内到达的顾客数（$t>0$），$P_n(t_1,t_2)$ 为在时间区间 $[t_1,t_2]$ 内有 $n(n\ge 0)$ 个顾客到达的概率，即 $$P_n(t_1,t_2)=P\{N(0,t_2)-N(0,t_1)=n\}(t_2>t_1,n\ge 0)$$ 当 $P_n(t_1,t_2)$ 符合下述 3 个条件时，顾客到达的过程就是泊松过程（顾客到达形成普阿松流）。

1. 在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的，称为无后效性；
2. 对充分小的 $\Delta t$ ，在时间区间 $[t,t+\Delta t]$ 内有一个顾客到达的概率与 $t$ 无关，而与区间长成正比，即 $$P_1(t,t+\Delta t)=\lambda \Delta t+o(\Delta t)$$ 其中 $o(\Delta t)$ 是关于 $\Delta$ 的高阶无穷小。$\lambda >0$ 是常数，它表示单位时间内有一个顾客到达的概率，称为概率强度。
3. 对于充分小的 $\Delta t$ ，在时间区间 $[t,t+\Delta t]$ 内有2 个或 2 个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即 $P_2(t,t+\Delta t)=o(\Delta t)$

在上述条件下，研究顾客到达数 $n$ 的概率分布。

由条件 2 ，总可以取时间由 0 算起，并简记 $P_n(0,t)=P_n(t)$ 。
由条件 2,3 ，可以推得在 $[t,t+\Delta t]$ 区间内没有顾客达到的概率为 $$P_0(t,t+\Delta t)=1-\lambda \Delta t+o(\Delta t)$$ 在计算 $P_n(t)$ 时，用通常建立未知函数的微分方程的办法，先求未知函数 $P_n(t)$ 由时刻 $t$ 到 $t+\Delta t$ 的改变量，从而建立 $t$ 时刻的概率分布与 $t+\Delta t$ 时刻概率分布的关系方程。

推导过程我就不写了，最后得到 $$P_n(t)=\frac{(\lambda t{)}^n}{n!}{e}^{-\lambda t},t>0;n=0,1,\cdots$$ $P_n(t)$ 表示长为 $t$ 的时间区间内到达 $n$ 个顾客的概率，有 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的普阿松分布，它的数学期望和方差分别为 $$E[N(t)]=\lambda t;D[N(t)]=\lambda t.$$ 期望值和方差相等，这是普阿松分布的一个重要特征，可以利用它对一个经验分布是否适合普阿松分布进行初步识别。

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二、负指数分布

随机变量 $T$ 的概率密度若为 $$f_T(t)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda t}& t\ge 0\\ 0& t<0\end{array}$$ 则称 $T$ 服从负指数分布，它的分布函数为 $$F_T(t)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda t}& t\ge 0\\ 0& t<0\end{array}$$ 其数学期望 $E(T)=1/\lambda$ ，方差 $D(T)=1/{\lambda }^2$ 。

负指数分布具有以下性质。

1. 由条件概率公式，有 $$P\{T>t+s|T>s\}=P\{T>t\}$$ 这一性质称为无记忆性或马尔科夫性。若 $T$ 表示排队系统中顾客到达的间隔时间，那么这个性质说明一个顾客到来与过去一个顾客到来无关，是纯随机的。
2. 当输入过程是普阿松流时，顾客相继到达的时间间隔 $T$ 服从负指数分布。这是因为，在 $[0,t)$ 内没有顾客来等价于相邻顾客到达间隔时间 $T>t$ 。对于普阿松流，在 $[0,t)$ 区间内没有一个顾客到达的概率是 $P_0(t)=e^{-\lambda t}(t>0)$ ，则 $P\{T>t\}=e^{-\lambda t}$ ，从而有 $P\{T\le t\}=1-e^{-\lambda t}$ ，此即负指数分布的分布函数公式。

对一顾客的服务时间，也就是在忙期内相继离开服务系统的两顾客的间隔时间，有时也服从负指数分布。这时设它的分布函数和密度分别为 $$F_v(t)=1-e^{-\mu t},f_v(t)=\mu e^{-\mu t}$$ 其中 $\mu$ 表示单位时间内被服务完成的顾客数，称为平均服务率。而 $1/\mu$ 表示一个顾客的平均服务时间。

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三、爱尔朗分布

设 $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ 为 $k$ 个相互独立的随机变量，服从相同参数 $k\mu$ 的负指数分布，那么 $T=v_1+v_2+\cdots +v_n$ 的概率密度是 $$b_k(t)\frac{\mu k(\mu kt{)}^{k-1}}{(k-1)!}{e}^{-k\mu t},t>0$$ 称 $T$ 服从 $k$ 阶爱尔朗分布。其数学期望为 $1/\mu$ ，方差为 $1/(k{\mu }^2)$ 。

串联的 $k$ 个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的参数为 $k\mu$ 的负指数分布，那么一顾客走完这 $k$ 个服务台总共所需要的服务时间就服从上述的 $k$ 阶爱尔朗分布。

爱尔朗分布族提供了更为广泛的的模型类，比指数分布有更大的适应性。当 $k=1$ 时，爱尔朗分布退化为负指数分布，可看成是完全随机的；当 $k$ 增大时，爱尔朗分布的图形逐渐变为对称；当 $k\ge 30$ 时，爱尔朗分布近似于正态分布；$k\to \infty$ 时，此时方差趋于 0 ，即爱尔朗分布化为确定型分布，所以一般 $k$ 阶爱尔朗分布可以看成完全随机与完全确定的中间型（下图所示），能对现实世界提供更为广泛的适应性。