【考研数学】概率论与数理统计 —— 第六章 | 数理统计基本概念(2,三个重要的抽样分布)

文章目录

  • 引言
  • 一、 χ 2 \chi^2 χ2 分布
    • 1.1 χ 2 \chi^2 χ2 分布定义
    • 1.2 性质
  • 二、 t t t 分布
    • 2.1 定义
    • 2.2 性质
  • 三、 F F F 分布
    • 3.1 定义
    • 3.2 性质
  • 写在最后


引言

对数理统计的一些基本概念有了了解后,我们来学习三个重要的抽样分布。


一、 χ 2 \chi^2 χ2 分布

1.1 χ 2 \chi^2 χ2 分布定义

X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,,Xn 相互独立且均服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1) ,称 X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2 X12+X22++Xn2 服从 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n) ,其中 n n n 称为自由度。设其概率密度为 f ( x ) f(x) f(x) ,则其函数图像为:

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对任意的 0 < α < 1 0<\alpha<1 0<α<1 ,若 P { X > χ α 2 ( n ) } = α , P\{X>\chi_\alpha^2(n)\}=\alpha, P{X>χα2(n)}=α, χ α 2 ( n ) \chi_\alpha^2(n) χα2(n) χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n) 分布的右或上 α \alpha α 分位点。若有 P { X < χ 1 − α 2 ( n ) } = α , P\{X<\chi_{1-\alpha}^2(n)\}=\alpha, P{X<χ1α2(n)}=α, χ 1 − α 2 ( n ) \chi_{1-\alpha}^2(n) χ1α2(n) χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n) 分布的左或下 α \alpha α 分位点,如下图所示。

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1.2 性质

  1. X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) XN(0,1) ,则 X 2 ∼ χ 2 ( 1 ) ; X^2\sim \chi^2(1); X2χ2(1);
  2. X ∼ χ 2 ( m ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(m),Y\sim \chi^2(n) Xχ2(m),Yχ2(n) ,且 X , Y X,Y X,Y 相互独立,则 X + Y ∼ χ 2 ( m + n ) ; X+Y \sim \chi^2(m+n); X+Yχ2(m+n);
  3. X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) Xχ2(n) ,则 E ( X ) = n , D ( X ) = 2 n . E(X)=n,D(X)=2n. E(X)=n,D(X)=2n.

对性质 3 进行证明:

X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) Xχ2(n) ,则 X = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 X=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2 X=X12+X22++Xn2 ,其中 X i ∼ N ( 0 , 1 ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) X_i\sim N(0,1)(i=1,2,\cdots,n) XiN(0,1)(i=1,2,,n) ,有 E ( X i ) = 0 , D ( X i ) = 1 E(X_i)=0,D(X_i)=1 E(Xi)=0,D(Xi)=1 。根据方差的定义, E ( X i 2 ) = D ( X i ) + [ E ( X i ) ] 2 = 1 E(X_i^2)=D(X_i)+[E(X_i)]^2=1 E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1 。计算 E ( X i 4 ) = ∫ − ∞ + ∞ x 4 1 2 π e − x 2 2 d x = 2 2 π ∫ 0 + ∞ x 4 e − x 2 2 d x . E(X_i^4)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^4\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{+\infty}x^4e^{-\frac{x^2}{2}}dx. E(Xi4)=+x42π 1e2x2dx=2π 20+x4e2x2dx. 换元,令 t = x 2 / 2 t=x^2/2 t=x2/2 ,有 E ( X i 4 ) = 2 2 π ∫ 0 + ∞ 4 t 2 e − t ⋅ 1 2 t d t = 4 π ∫ 0 + ∞ t 3 2 e − t d t . E(X_i^4)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{+\infty}4t^2e^{-t}\cdot \frac{1}{\sqrt{2t}}dt=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty}t^{\frac{3}{2}}e^{-t}dt. E(Xi4)=2π 20+4t2et2t 1dt=π 40+t23etdt. 回忆一下,在反常积分,我们学过一个伽玛函数,即 Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x ( α > 0 ) \Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha -1}e^{-x}dx (\alpha>0) Γ(α)=0+xα1exdxα>0 主要有如下性质: Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) , Γ ( n + 1 ) = n ! , Γ ( 1 2 ) = π . \Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha),\Gamma(n+1)=n!, \Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}. Γ(α+1)=αΓ(α),Γ(n+1)=n!,Γ(21)=π . 因此,我们可以得到 E ( X i 4 ) = 4 / π ⋅ Γ ( 5 / 2 ) = 4 / π ⋅ 3 / 2 ⋅ π / 2 = 3. E(X_i^4)=4/\sqrt{\pi}\cdot \Gamma(5/2)=4/\sqrt{\pi}\cdot 3/2 \cdot \sqrt{\pi}/2=3. E(Xi4)=4/π Γ(5/2)=4/π 3/2π /2=3. 于是我们可以得到: D ( X i 2 ) = E ( X i 4 ) − [ E ( X i 2 ) ] 2 = 3 − 1 = 2. D(X_i^2)=E(X_i^4)-[E(X_i^2)]^2=3-1=2. D(Xi2)=E(Xi4)[E(Xi2)]2=31=2. E ( X ) = ∑ E ( X i 2 ) = n , D ( X ) = ∑ D ( X i 2 ) = 2 n . E(X)=\sum E(X_i^2)=n,D(X)=\sum D(X_i^2)=2n. E(X)=E(Xi2)=n,D(X)=D(Xi2)=2n.

例题】设总体 X ∼ N ( 0 , 2 ) X\sim N(0,2) XN(0,2), ( X 1 , X 2 , X 3 ) X_1,X_2,X_3) X1,X2,X3) 为总体 X X X 的简单随机样本,记 Z = X 1 2 + ( X 2 − X 3 ) 2 Z=X_1^2+(X_2-X_3)^2 Z=X12+(X2X3)2,求 E ( Z ) , D ( Z ) E(Z),D(Z) E(Z),D(Z)

解: 要想利用 χ 2 \chi^2 χ2 分布,必须有标准正态分布,因此可将 X 1 X_1 X1 标准化,即 X 1 / 2 ∼ N ( 0 , 1 ) X_1/\sqrt{2} \sim N(0,1) X1/2 N(0,1),于是有 X 1 2 / 2 ∼ χ 2 ( 1 ) X_1^2/2 \sim \chi^2(1) X12/2χ2(1)
X 2 − X 3 ∼ N ( 0 , 4 ) X_2-X_3 \sim N(0,4) X2X3N(0,4) ,故 ( X 2 − X 3 ) / 2 ∼ N ( 0 , 1 ) (X_2-X_3)/2 \sim N(0,1) (X2X3)/2N(0,1) ,从而有 ( X 2 − X 3 ) 2 / 4 ∼ χ 2 ( 1 ) (X_2-X_3)^2/4 \sim \chi^2(1) (X2X3)2/4χ2(1)
于是有 E ( Z ) = E ( X 1 2 ) + E [ ( X 2 − X 3 ) 2 ] = 2 E ( X 1 2 / 2 ) + 4 E [ ( X 2 − X 3 ) 2 / 4 ] = 2 + 4 = 6 , D ( Z ) = 4 D ( X 1 2 / 2 ) + 16 D [ ( X 2 − X 3 ) 2 / 4 ] = 8 + 32 = 40. E(Z)=E(X_1^2)+E[(X_2-X_3)^2]=2E(X_1^2/2)+4E[(X_2-X_3)^2/4]=2+4=6,D(Z)=4D(X_1^2/2)+16D[(X_2-X_3)^2/4]=8+32=40. E(Z)=E(X12)+E[(X2X3)2]=2E(X12/2)+4E[(X2X3)2/4]=2+4=6,D(Z)=4D(X12/2)+16D[(X2X3)2/4]=8+32=40.


二、 t t t 分布

2.1 定义

X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n) XN(0,1),Yχ2(n) ,且 X , Y X,Y X,Y 相互独立,称 X Y n \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} nY X 服务自由度为 n n n t t t 分布,记为 X / Y / n ∼ t ( n ) X/\sqrt{Y/n} \sim t(n) X/Y/n t(n)

X ∼ t ( n ) X\sim t(n) Xt(n) ,其概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x) ,对任意的 0 < α < 1 0<\alpha<1 0<α<1 ,若 P { X > t α ( n ) } = α , P\{X>t_\alpha(n)\}=\alpha, P{X>tα(n)}=α, t α ( n ) t_\alpha(n) tα(n) t ( n ) t(n) t(n) 分布的右或上 α \alpha α 分位点。
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若有 P { X < t 1 − α ( n ) } = α , P\{XP{X<t1α(n)}=α, t 1 − α ( n ) t_{1-\alpha}(n) t1α(n) t ( n ) t(n) t(n) 分布的左或下 α \alpha α 分位点。显然,有 t 1 − α ( n ) = − t α ( n ) t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n) t1α(n)=tα(n)

2.2 性质

  1. X ∼ t ( n ) X\sim t(n) Xt(n),则 X X X 的概率密度为偶函数,且有 P { X < 0 } = P { X ≥ 0 } = 0.5 ; P\{X<0\}=P\{X\geq0\}=0.5; P{X<0}=P{X0}=0.5;
  2. X ∼ t ( n ) X\sim t(n) Xt(n),则 E ( X ) = 0 , D ( X ) = n / ( n − 2 ) , ( n > 2 ) ; E(X)=0,D(X)=n/(n-2),(n>2); E(X)=0,D(X)=n/(n2),(n>2);
  3. X ∼ t ( n ) X\sim t(n) Xt(n),则 X X X 近似服从标准正态分布。

三、 F F F 分布

3.1 定义

X ∼ χ 2 ( m ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim\chi^2(m),Y\sim\chi^2(n) Xχ2(m),Yχ2(n) ,且 X , Y X,Y X,Y 独立,则称 X / m Y / n {X/m}\over{Y/n} Y/nX/m 服从自由度为 m , n m,n m,n F F F 分布,记为 ( X / m ) / ( Y / n ) ∼ F ( m , n ) (X/m)/(Y/n)\sim F(m,n) (X/m)/(Y/n)F(m,n)

X ∼ F ( m , n ) X\sim F(m,n) XF(m,n) ,其概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x) ,对任意的 0 < α < 1 0<\alpha<1 0<α<1 ,若 P { X > F α ( m , n ) } = α , P\{X>F_\alpha(m,n)\}=\alpha, P{X>Fα(m,n)}=α, F α ( m , n ) F_\alpha(m,n) Fα(m,n) F ( m , n ) F(m,n) F(m,n) 分布的右或上 α \alpha α 分位点。如下图所示。
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若有 P { X < F 1 − α ( m , n ) } = α , P\{XP{X<F1α(m,n)}=α, F 1 − α ( m , n ) F_{1-\alpha}(m,n) F1α(m,n) F ( m , n ) F(m,n) F(m,n) 分布的左或下 α \alpha α 分位点。

3.2 性质

  1. X ∼ F ( m , n ) X\sim F(m,n) XF(m,n) ,则 1 / X ∼ F ( n , m ) 1/X \sim F(n,m) 1/XF(n,m)
  2. X ∼ t ( m ) X\sim t(m) Xt(m) ,则 X 2 ∼ F ( 1 , m ) X^2\sim F(1,m) X2F(1,m)
    证明: X ∼ t ( m ) X\sim t(m) Xt(m) ,则存在 U ∼ N ( 0 , 1 ) , V ∼ χ 2 ( m ) U\sim N(0,1),V\sim \chi^2(m) UN(0,1),Vχ2(m) ,且 U , V U,V U,V 相互独立,且 X = U / V / m , X=U/\sqrt{V/m}, X=U/V/m , 于是 X 2 = U 2 / ( V / m ) X^2=U^2/(V/m) X2=U2/(V/m) ,即 X 2 = ( U 2 / 1 ) / ( V / m ) X^2=(U^2/1)/(V/m) X2=(U2/1)/(V/m) U 2 ∼ χ 2 ( 1 ) U^2\sim \chi^2(1) U2χ2(1) U 2 , V U^2,V U2,V 相互独立,故 X 2 ∼ F ( 1 , m ) X^2\sim F(1,m) X2F(1,m)
  3. 0 < α < 1 0<\alpha<1 0<α<1 ,有 F α ( m , n ) = 1 / F 1 − α ( n , m ) F_\alpha(m,n)=1/F_{1-\alpha}(n,m) Fα(m,n)=1/F1α(n,m)
    证明: 由性质 1 , 1 / X ∼ F ( n , m ) 1/X \sim F(n,m) 1/XF(n,m) ,故有 P { 1 / X > F 1 − α ( n , m ) } = 1 − α = P { X < 1 / F 1 − α ( n , m ) } = P { X < F α ( m , n ) } P\{1/X>F_{1-\alpha}(n,m)\}=1-\alpha=P\{X<1/F_{1-\alpha}(n,m)\}=P\{XP{1/X>F1α(n,m)}=1α=P{X<1/F1α(n,m)}=P{X<Fα(m,n)} ,即 F α ( m , n ) = 1 / F 1 − α ( n , m ) F_\alpha(m,n)=1/F_{1-\alpha}(n,m) Fα(m,n)=1/F1α(n,m)

写在最后

这三个分布彼此之间都是有一定联系的,同时也都跟标准正态有关,把握住他们的联系,应该就能应付考试了。

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