泊松分布,指数分布与排队论模型

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泊松分布与指数分布

泊松分布

泊松分布就是描述某段时间内,事件具体的发生概率。

日常生活中,大量事件是有固定频率的:
某医院平均每小时出生3个婴儿
某公司平均每10分钟接到1个电话
某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
某网站平均每分钟有2次访问

  • 它们的特点就是,我们可以预估这些事件的总数,但是没法知道具体的发生时间。
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    上面就是泊松分布的公式。等号的左边,P 表示概率,N表示某种函数关系,t 表示时间,n 表示数量,1小时内出生3个婴儿的概率,就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边,λ 表示事件的频率。

接下来两个小时,一个婴儿都不出生的概率是0.25%,基本不可能发生。泊松分布,指数分布与排队论模型_第2张图片
接下来一个小时,至少出生两个婴儿的概率是80%。泊松分布,指数分布与排队论模型_第3张图片

  • 图形
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    可以看到,在频率附近,事件的发生概率最高,然后向两边对称下降,即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿,这是最可能的结果,出生得越多或越少,就越不可能。

指数分布

指数分布是事件的时间间隔的概率。

婴儿出生的时间间隔
来电的时间间隔
奶粉销售的时间间隔
网站访问的时间间隔

  • 指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ,就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。
    泊松分布,指数分布与排队论模型_第5张图片反过来,事件在时间 t 之内发生的概率,就是1减去上面的值。泊松分布,指数分布与排队论模型_第6张图片
    接下来15分钟,会有婴儿出生的概率是52.76%泊松分布,指数分布与排队论模型_第7张图片
    接下来的15分钟到30分钟,会有婴儿出生的概率是24.92%。
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  • 指数分布图形
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    可以看到,随着间隔时间变长,事件的发生概率急剧下降,呈指数式衰减。想一想,如果每小时平均出生3个婴儿,上面已经算过了,下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%,那么间隔3小时、间隔4小时的概率,是不是更接近于0?

一句话总结

泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布,指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

排队论

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泊松分布,期望方差都是λt

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  • 顾客接受完服务离开
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  • 负指数分布,无后效性
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  • 服务强度
    ρ越小,单位时间到达数比服务数小,等待时间少,服务员空闲,服务设施利用率低
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  • 期望值

顾客数期望值为L
逗留时间期望值为W泊松分布,指数分布与排队论模型_第20张图片

M/M/1(单服务台模型)

(1)队列长度没有限制
(2)顾客到达的时间间隔和服务时间均服从指数分布
(3)服务台数量为1
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  • 系统中顾客数L
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  • 在排队等待的顾客数Lq
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  • 平均逗留时间W
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