高中奥数 2021-07-22

2021-07-22-01

（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P16 例6）

设、是非负整数,证明是一个整数.

证明

我们只需证明,对每个素数,分母的标准分解中的幂次,不超过分子中的幂次.

这等价于证明

$\sum\limits_{i=1}^\infty \left(\left[\dfrac{2m}{p^l}\right]+\left[\dfrac{2n}{p^l}\right]\right)\geqslant \sum\limits_{i=1}^\infty \left(\left[\dfrac{m}{p^l}\right]+\left[\dfrac{n}{p^l}\right]+\left[\dfrac{m+n}{p^l}\right]\right)$ .(1)

事实上我们能够证明下述更强的结果:

对任意实数、,有.(2)

为了证明(2),我们注意,对任意整数及任意实数,有.由此易知,若或改变一个整数量,则不等式(2)两边改变一个相同的量.因此只要对,的情形证明(2),于是问题化为证明不等式

注意现在.若,则结论显然成立.若,则,从而、中至少有一个大于或等于,,不妨设,因此,这就证明了(2),从而更有(1)成立,这就证明了本题的结论.

2021-07-22-02

（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P14 例7）

设、是互素的正整数,证明:.

证法一

只要证明,对每个素数,有

.(1)

为此,我们希望证明“单项不等式”:(2)

对任意素数及任意正整数成立,从而(1)得证.

然而,现在的情形下,我们需要利用所说整数的特别性质由带余除法,,,这里,而,均为非负整数,则有

及.

但,故与不能同时为零,从而,故

这就证明了(2).证毕.

证法二

首先不难证明,对任意正整数、,数个整数.

由上述结果可知,与均是整数.因此,若设,则与均是整数,故是的倍数.又,而由及,可知,而这表明,本身是一个整数.证毕.

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（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P18 习题1）

证明:对任意给定的正整数,都存在连续个合数.

易于验证,,,,是个连续的合数.

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（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P18 习题2）

证明:形如的素数有无穷多个,形如的素数也有无穷多个(为正整数).

证明

可将欧几里得证明素数有无穷多个的方法稍作修改来论证:

假设形式的素数只有有限多个,设它们的全部为.

考虑数.

显然,故,故有素因子.

进一步,因两个形式的数之积仍具有形式,而有形式,故必有一个形式的素因子,由前面的假设知,应同于之一,进而被整除,即,矛盾.

同样可证明,形如的素数有无穷多个.

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（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P18 习题3）

证明:有无穷多个奇数,使是合数.

证明

取,则.

易知它有真因子.

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（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P18 习题4）

设整数、、、满足,且

证明:不是素数.

证明

反证法,设有满足题设的一组、、、,使得为素数,记之为,将代入给出的等式,得到

因是素数,故整除,或者整.

若,则由,推出,即,从而.

显然(因是素数),故,这与矛盾.

若,则由知,,即,故及都成立.

但易知,故被和整除.因,,从而必须有及,矛盾.

高中奥数 2021-07-22

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