经管博士科研基础【27】如何判断正定矩阵或者负定矩阵？

在【26】一章中，我们学习到可以通过判断海塞矩阵是正定矩阵或负定矩阵来判断函数的极值问题，为此，我们今天就回顾一下怎么判断海塞矩阵或者说任意一个矩阵是一个正定矩阵或者负定矩阵。

一、正定矩阵的定义

其实，我们可以看到上面的任意非零向量x可以更换为“单位向量”。也就是说，我们可以得到下面的定义,这一个定义和上面的定义是同质的。

 

另外，从二次型的角度（也就是说，将上面的式子转换为了与二次型一一对应的结构），可以得到如下定义：

 

二.、判断一个矩阵式正定矩阵或者负定矩阵？ 

如果将正定矩阵的条件xTAx > 0弱化为xTAx≥ 0，则称对称阵A是半定正的。 

因此，根据上面的推论和定理11，我们就可以得到判断矩阵的正定型或者负定型的两种方法：