微波网络分析中的阻抗参量Z, 导纳参量Y, 转移参量A, 散射参量S, 传递参量T及他们之间的关系

微波网络分析中的阻抗参量Z, 导纳参量Y, 转移参量A, 散射参量S, 传递参量T及他们之间的关系

微波网络的参量包含以端口的归一化电压和归一化电流定义的阻抗$\mathbf{Z}$参量，导纳$\mathbf{Y}$参量以及转移$\mathbf{A}$参量，还包括以归一化入射波电压和归一化反射波电压定义的散射$\mathbf{S}$参量，传输$\mathbf{T}$参量。在微波波段，端口的归一化电压和归一化电流很难测量到，而归一化入射波电压和归一化反射波电压则容易测量，故$\mathbf{S},\mathbf{T}$参量是微波网络分析中应用最多的参量。

归一化变量

为了方便的描述不同阻抗传输线微波系统的电压、电流、阻抗，通常采用归一化的描述形式。

阻抗归一化

设传输线阻抗为$Z_0$, 对于某一阻抗$Z$，其归一化阻抗为$\overline{Z}=\frac{Z}{Z_0}$，归一化的阻抗没有量纲。
这里我们约束传输线阻抗为一实数.

电压归一化

设传输线阻抗为$Z_0$, 对于某一电压$U$，其归一化电压为$\overline{U}=\frac{U}{\sqrt{Z_0}}$，归一化的电压量纲为$\frac{V}{\sqrt{\Omega }}$

电流归一化

设传输线阻抗为$Z_0$, 对于某一电流$I$，其归一化电流为$\overline{I}=I\sqrt{Z_0}$，归一化的电流量纲为$A\sqrt{\Omega }$

采用归一化形式后，功率的描述形式不变

$$\begin{array}{r}P=Re[U{I}^{\ast }]=Re[\frac{U}{\sqrt{Z_0}}(I\sqrt{Z_0}{)}^{\ast }]=Re[\overline{U}\ast {\overline{I}}^{\ast }]\end{array}$$

对于传输线有

$$\begin{array}{rl}\overline{U_0}& =\frac{U_0}{\sqrt{Z_0}}=\frac{I_0{Z}_0}{\sqrt{Z_0}}=I_0\sqrt{Z_0}=\overline{I_0}\\ \overline{Z_0}& =1\end{array}$$

阻抗$\mathbf{Z}$参量

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{Z}_{11}& Z_{12}\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right]\\ \mathbf{U}& =\mathbf{ZI}\end{array}$$
$Z$的各项是在只有一个端口有电流输入，其他端口开路（即：电流为0）的情况下得到的。例如在$I_2=0$时，通过计算$Z_{11}=\frac{U_1}{I_1}$获得$Z_{11}$

导纳$\mathbf{Y}$参量

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ Y_{21}& Y_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]\\ \mathbf{I}& =\mathbf{YU}\end{array}$$
$Y$的各项是在只有一个端口有电压输入，其他端口短路（即电压为0）的情况下得到的。例如在$U_2=0$时，通过计算$Y_{11}=\frac{I_1}{U_1}$获得$Y_{11}$

有定义可知，阻抗参量与导纳参量是逆矩阵关系$\mathbf{Y}={\mathbf{Z}}^{-1}$

转移$\mathbf{A}$参量

$\mathbf{Z},\mathbf{Y}$参量的输入变量和输出变量中都包含网络的两个端口，因此无法用于级联的网络矩阵运算。
转移$\mathbf{A}$参量的输入变量和输出变量分别来自端口的两侧：
$$\begin{array}{rlr}\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ I_1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_2\\ -I_2\end{array}\right]& =\mathbf{A}\left[\begin{array}{c}{U}_2\\ -I_2\end{array}\right]\end{array}$$

• 在$I_2=0$时，通过计算$A_{11}=\frac{U_1}{U_2}$获得$A_{11}$;
• 在$I_2=0$时，通过计算$A_{21}=\frac{I_1}{U_2}$获得$A_{21}$;
• 在$U_2=0$时，通过计算$A_{12}=\frac{U_1}{-I_2}$获得$A_{12}$;
• 在$U_2=0$时，通过计算$A_{22}=\frac{I_1}{-I_2}$获得$A_{22}$;

利用转移A参量可实现微波网络的级联运算，如上图网络A1与网络A2进行级联，则有

$$\begin{array}{rlrl}\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ I_1\end{array}\right]& ={\mathbf{A}}_1\left[\begin{array}{c}{U}_2\\ -I_2\end{array}\right]& ={\mathbf{A}}_1\left[\begin{array}{c}{U}_3\\ I_3\end{array}\right]& ={\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_2\left[\begin{array}{c}{U}_4\\ -I_4\end{array}\right]\end{array}$$

散射$\mathbf{S}$参量

端口的电压与电流在微波频段测量比较困难，而入射波电压和反射波电压的测量则较为容易，因此在微波电路分析中常常使用入射波电压和反射波电压定义的散射$\mathbf{S}$参量。

对于端口1，

入射电压$U_1^{+}$的传播方向为从左到右，即传输线到微波网络；反射电压$U_1^{-}$的传播方向为从右到左，即从微波网络到传输线。端口的电压$U_1$入射电压$U_1^{+}$与反射电压$U_1^{-}$之和。

入射电流$I_1^{+}$的传播方向为从左到右，即传输线到微波网络；反射电流$I_1^{-}$的传播方向为从右到左，即从微波网络到传输线。端口的电流$I_1$入射电流$I_1^{+}$与反射电流$I_1^{-}$之差$(I_1^{+}-I_1^{-})$。

由于入射与反射独立的传播，因此在端口1的传输线与微波器件的接口左边，有：
$$\begin{array}{r}\frac{U_1^{+}}{I_1^{+}}=Z_0\\ \frac{U_1^{-}}{-I_1^{-}}=Z_0\end{array}$$
之所以上式中的$I{1}^{-}$前有 - 号，是因为图中该电流的方向向右，而实际的参考方向向左。

在端口1的传输线与微波器件的接口右边，有：
$$\begin{array}{r}\frac{U_1^{+}+U_1^{-}}{I_1^{+}+I_1^{-}}=Z_{1L}\end{array}$$
分子分母都除以$U_1^{+}$
$$\begin{array}{r}\frac{1+\frac{U_1^{-}}{U_1^{+}}}{\frac{I_1^{+}}{U_1^{+}}+\frac{I_1^{-}}{U_1^{+}}}=Z_{1L}\\ \frac{1+\frac{U_1^{-}}{U_1^{+}}}{\frac{1}{Z_0}-\frac{U_1^{-}}{Z_0{U}_1^{+}}}=Z_{1L}\end{array}$$

反射系数

定义反射电压与入射电压之比为反射系数$\Gamma$，反射系数又称反射损耗
$$\begin{array}{r}\Gamma =\frac{U_1^{-}}{U_1^{+}}\end{array}$$
（15）代入（14）得：
$$\begin{array}{r}\Gamma =\frac{Z_{1L}-Z_0}{Z_{1L}+Z_0}\end{array}$$

散射参量

以入射电压和反射电压定义的微波系统的参量

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}\overline{U_1^{-}}\\ \overline{U_2^{-}}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{S}_{11}& S_{12}\\ S_{21}& S_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\overline{U_1^{+}}\\ \overline{U_2^{+}}\end{array}\right]\\ {\mathbf{U}}^{-}& =\mathbf{S}{\mathbf{U}}^{+}\end{array}$$

$S_{11}$即为反射系数 $\Gamma$, 是在端口2接阻抗为$Z_0$的元件，并且入射电压$U_2^{+}=0$时，反射电压与入射电压之比，即 $S_{11}=\frac{U_1^{-}}{U_1^{+}}$

$S_{12}$ 是在端口1接阻抗为$Z_0$的元件，并且入射电压$U_1^{+}=0$时，端口1反射电压与端口2入射电压之比，即 $S_{12}=\frac{U_1^{-}}{U_2^{+}}$

$S_{21}$ 是在端口2接阻抗为$Z_0$的元件，并且入射电压$U_2^{+}=0$时，端口2的反射电压与端口1的入射电压之比，即 $S_{21}=\frac{U_2^{-}}{U_1^{+}}$

$S_{22}$ 是在端口1接阻抗为$Z_0$的元件，并且入射电压$U_1^{+}=0$时，端口2反射电压与端口2入射电压之比，即 $S_{22}=\frac{U_2^{-}}{U_2^{+}}$

散射参量S到阻抗参量的转换

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{U}{I}\\ & =\frac{U^{+}+U^{-}}{I^{+}+I^{-}}\\ & =\frac{\frac{U^{+}}{U^{+}}+\frac{U^{-}}{U^{+}}}{\frac{I^{+}}{U^{+}}+\frac{I^{-}}{U^{+}}}\\ & =Z_0\frac{E+S}{E-S}\\ & =Z_0(E+S)(E-S{)}^{-1}\end{array}$$

传输$\mathbf{T}$参量

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}\overline{U_1^{+}}\\ \overline{U_1^{-}}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{T}_{11}& T_{12}\\ T_{21}& T_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\overline{U_2^{+}}\\ \overline{U_2^{-}}\end{array}\right]\\ {\mathbf{U}}_1& =\mathbf{T}{\mathbf{U}}_2\end{array}$$

与转移参量相似，传输参量可以进行级联
$U_1=T_1{T}_2{U}_2$

参考文献

[1] Reinhold Ludwig, RF Circuit Design, Theory and Application
[2] 李绪益，微波技术与微波电路