【原创】【理论+题型】二次型化标准型 +合同

(A)二次型化标准型2方法对比
1任何二次型都能化为标准,有正交变换法和配方法
2任何二次型都能通过配方法变为标准型,但不一定能通过正交变化法变
3二次型的规范型唯一,标准型不唯一
4实对称阵的(合同)对角化问题,即是相应的二次型化标准型问题
5正交变换法和配方法过程和结果对比(考试2大方向方法)
(1)过程对比
①正交变换法:就是矩阵相似对角化的过程,此法将合同问题转为了矩阵求特征值问题(求特征值特征向量,正交单位化找正交阵的套路过程)
②配方法:代数方法,就是配方
(2)结果对比
①正交变换法:所得对角阵的对角线元素为特征值
②配方法:所得对角阵的对角线元素的正负反映了正负惯性指数

6 实对称(合同)对角化 == 二次型化标准型,2大方法:①正交变换法(即之前相似对角化的套路过程) ②配方法(代数法) 【23年数一真题将该点考到了巅峰理解】

(B)合同
(1)矩阵的相似与合同可理解为一种函数作用:相似作用是P(-1)AP(P可逆),合同作用是P(T)AP(P可逆)。相似(对角化)与合同(对角化)的效果都是在一个可逆阵P的作用下,将一个矩阵A化为一个对角阵。只不过合同问题的A是实对称阵;相似问题最终的对角阵元素为特征值,合同矩阵最终的对角阵不唯一(即二次型的标准型不唯一),是平方项前的系数
(2)考研范围内只研究实对称阵的合同问题
(3)实对称阵的(合同)对角化问题,即是相应的二次型化标准型问题。二次型化为标准型有2种方法:正交变换法 和 配方法[①正交变换法就是矩阵相似对角化的过程,此法将合同问题转为了相似问题(就是求特征值特征向量,正交单位化找正交阵的套路过程) ②配方法总可将任意一个二次型变为标准型,正交变换法不一定]

·实对称合同对角化 == 二次型化标准型 == 二次型对角化(一个二次型化为对角二次型) == 求正负惯性指数
·实对称合同的2大手法方向:
①矩阵求特征值法:转用求特征值,特征向量的相似那的熟悉套路做 如题说用正交变换/求正交阵…
②配方法:如题说用配方法化二次型为标准型/求可逆阵化一个二次型为标准型/另一个二次型 (对角二次型即为标准型)

(一)题型一:判断2个实对称阵是否合同
(1)【技】由矩阵类型直接看能否合同:对称阵与对称阵合同,不与非对称阵合同 (非对称阵才可能与非对称阵合同)
(2)2个n阶实对称A B合同的充要条件:A B正负惯性指数相同
【题目】求正负惯性指数即二次型的标准化问题,可用矩阵法求特征值or配方法。下题用的配方法

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【题目】两种方法题目如下。第二题与18年数一大题有点类似,套路都是2个二次型有相同的规范型,以此作为桥梁

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