【基础算法】解决经典兔子问题的两种思路

有一个经典的算法问题，题目是这样的：

有一对小兔子，当小兔子成长到第三个月的时候，每个月都会生一对小兔子，新生的小兔子同他们的父母具有一样的生殖性质（成长到第三个月之后每个月都生一对），兔子不会死亡，求n个月后有多少对兔子。

这个问题很容易，有很多种方法可以解决，比较经典的方法有两种，递归和动态规划。

动态规划

动态规划的思路是从最终态（第n月兔子的数量）开始思考，尝试找到第n个月兔子数量，和第n-1个月兔子数量间的递推关系。找到递推关系之后，我们不需要在关注中间过程，只需要从最初态开始递推，保存每次递推的结果（每个月兔子的数量），自然就能得出第n个月兔子的数量。

从这道题来看，因为兔子是以月这个时间单位，一代一代生出来的，所以每个月的兔子数量，应该是存在递推关系的。那么第n个月兔子数量应该怎么和n-1个月兔子数量联系起来呢？很显然，因为兔子不会死亡，所以第n个月兔子的组成应该是：n-1个月时全部的兔子，和第n个月新生的兔子数量之和。设第n个月的兔子数量为F(n)，也就是：

F(n)=F(n-1)+第n月新生的兔子

为了完成这个状态转移方程，我们需要搞清第n月新生兔子和兔子数量之间的联系。

我们不妨从第k月开始跟踪，因为兔子第三个月可以繁殖，也就是兔子其实可以划分成三种不同的状态，所以我们不妨用mature(k)表示第k月成熟的（可繁殖的）兔子数量，grow(k)表示第k月正在成长的（在生命历程第二个月的）兔子数量，最后用born(k)表示第k月新生的兔子数量：

k月时兔子的数量            k+1月时兔子的数量                                k+2月时兔子的数量

mature(k)                       mature(k+1)=mature(k)+grow(k)            mature(k+2)=mature(k+1)+grow(k+1)=mature(k)+grow(k)+born(k)

grow(k)                           grow(k+1)=born(k)                                 grow(k+2)=born(k+1)=mature(k)+grow(k)

born(k)=mature(k)          born(k+1)=mature(k+1)                          born(k+2)=mature(k+2)=mature(k)+grow(k)+born(k)

通过观察这个递推关系，不难发现其实k+2个月时新生兔子的数量就等于第k月时兔子的总数。所以我们可以得到状态转移方程：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

其实也可以直观的去想，第n个月，所有兔子繁殖之前，总数就是n-1月兔子的总数F(n-1)，那么这F(n-1)对兔子中，又有多少是可繁殖的呢，那想必需要减去其中不成熟的，那实际上，兔子只会在自己新生的那个月和其下一个月不成熟，也就是只需减去F(n-1)中新生的兔子数量，也就是：

第n月可以繁殖的兔子数量=F(n-1)-(n-1月新生的兔子)

结合我们已知的状态转移方程：F(n)=F(n-1)+第n月新生的兔子，将n-1带入到方程的n中，显然答案就是F(n-2)，也就是第n月，可以繁殖的兔子数量就是F(n-2)，可以得到一样的状态转移方程。

C语言代码实现：

#include

int main(){

    unsigned long count[100]={0};  //初始化数组保存兔子数量

    int n=0;

    printf("Please input month number(1~99):");

    scanf("%d",&n); //获取用户输入的月份数

    for(int i=0;i

                if(i==0||i==1){

                            count[i]=1;

                }

                else{

                            count[i]=count[i-1]+count[i-2];

               }

    }

    printf("The number of rabbit is:%lu",count[n-1]);

}

这段代码简单的实现了算法，但是仍然需要升级，因为虽然用户可输入的范围是1~99，但实际测试下，即使已经使用了unsigned long，因为unsigned long的取值范围为0至4,294,967,295，当输入月份在47以上的时候，值会溢出。考虑下一步升级通过字符串数组保存兔子数量，实现大整数的保存。

递归

递归算法设计的思路上相对比较直接，明确终止条件，调用自身进行运算就可以了。

所以我们的终止条件是：

当月份数减为1的时候    return兔子数=1

当月份数减为2的时候    return兔子数=1

运算过程：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

#include

unsigned long recur(int n);

int main(){

        int n=0;

        scanf("%d",&n);

        printf("%lu",recur(n));

        return 0;

}

unsigned long recur(int n){

        if(n==1||n==2){

                return 1;

        }

        else{

                return recur(n-1)+recur(n-2);

        }

}

总结

两种方法都可以完成这道题的计算，但是实际运行下来，使用动态规划基本都是妙出结果（时间复杂度为O(n)），而递归则相对慢很多（时间复杂度O(2的n次方)），但从空间复杂度上来讲，递归更胜一筹。