【二叉树进阶】AVLTree-平衡二叉搜索树

1、AVL树

1.1、AVL树的概念

二叉搜索树（binary search tree）虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树(最坏的情况如下图左单支所示)，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(高度差：-1/0/1)
   
   如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
   $O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

1.2 AVL树节点的定义

AVL树的节点采用三叉链结构，其中包含指向左右子节点的指针和指向父亲的指针。数据存储在键值对中，使用pair对象表示。为了保持树的平衡，引入了平衡因子来判断是否需要进行平衡操作。

// AVL树节点的定义（KV模型）
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;  // 键值对
	int _bf;         // 平衡因子(balance factor) = 右子树高度 - 左子树高度
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; // 双亲指针

	// 构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_bf(0)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
	{}
};

// AVL树的定义（KV模型）
template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;

private:
	Node* _root;

public:
	// 成员函数
}

1.3 AVL树 - 插入节点

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为3步：

1. 插入新节点
2. 更新树的平衡因子
3. 根据更新后树的平衡因子的情况，来控制树的平衡（旋转操作）

1.3.1 插入新节点

和二叉搜索树插入方式一样，先查找，再插入。

// 插入节点
bool AVLTree::Insert(const pair<K, V>& kv)
{
    // 如果树为空，则直接插入节点
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        return true;
    }

    // 如果树不为空，找到适合插入节点的空位置
    Node* parent = nullptr;  // 记录当前节点的父亲
    Node* cur = _root;       // 记录当前节点
    while (cur)
    {
        if(kv.first > cur->_kv.first) // 插入节点键值k大于当前节点
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if(kv.first < cur->_kv.first) // 插入节点键值k小于当前节点
        { 
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else // 插入节点键值k等于当前节点
        {
            return false;
        }
    }
    // while循环结束，说明找到适合插入节点的空位置了

    // 插入新节点
    cur = new Node(kv); // 申请新节点
    // 判断当前节点是父亲的左孩子还是右孩子
    if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
    {
        parent->_right = cur;
        cur->_parent = parent;

    }
    else
    {
        parent->_left = cur;
        cur->_parent = parent;
    }

    //...................................
    // 这些写更新平衡因子，和控制树的平衡的代码
    //...................................
    
    // 插入成功
    return true;
}

1.3.2 更新树的平衡因子

插入新节点后，该节点到根节点之间的所有祖先节点的平衡因子可能会受到影响。根据不同的情况，需要更新它们的平衡因子。

1. 如果插入在「新节点父亲」的右边，父亲的平衡因子++（ _bf++ ）
2. 如果插入在「新节点父亲」的左边，父亲的平衡因子–（ _bf-- ）

「新节点父亲」的平衡因子更新以后，又会分为 3 种情况：

1. 如果更新以后，平衡因子是 1 或者 -1（则之前一定为 0），说明父亲所在子树高度变了，需要继续往上更新。（最坏情况：往上一直更新到根节点）
   
   2、如果更新以后，平衡因子是 0（则之前一定为 1 或者 -1），说明父亲所在子树高度没变（因为把矮的那边给填补上了），不需要继续往上更新。
   
   3、如果更新以后，平衡因子是 2 或者 -2，说明父亲所在子树出现了不平衡，需要旋转处理，让它平衡。
   
   代码如下：

while (parent) // 最坏情况：更新到根节点
{
    // 更新新节点父亲的平衡因子

    if (cur == parent->_left) // 新节点插入在父亲的左边
    {
        parent->_bf--;
    }
    else // 新节点插入在父亲的右边
    {
        parent->_bf++;
    }

    // 检查新节点父亲的平衡因子

    // 1、父亲所在子树高度变了，需要继续往上更新
    if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    {
        cur = parent;
        parent = cur->_parent;
    }
    // 2、父亲所在子树高度没变，不用继续往上更新
    else if (parent->_bf == 0)
    {
        break;
    }
    // 3、父亲所在子树出现了不平衡，需要旋转处理
    else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    {
        // 这里写对树进行平衡化操作，旋转处理的代码，分为4种情况：
        
        /*................................................*/
        // 3.1、父节点的左边高，右边低，需要往右旋
        if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
        {
            // 右单旋
            treeRotateRight(parent); 
        }
        
        // 3.2、父节点的右边高，左边低，需要往左旋
        else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
        {
            // 左单旋
            treeRotateLeft(parent); 
        }
        
        // 3.3、父节点的左边高，且父节点左孩子的右边高
        else if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
        {
            // 左右双旋
            treeRotateLR(parent);
        }
        
        // 3.4、父节点的右边高，且父节点右孩子的左边高
        else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
        {
            // 右左双旋
            treeRotateRL(parent);
        }
        
        else // 只有上述4种情况，没有其它情况，所以这里直接报错处理
        {
            assert(false);
        }
        
        break; // 旋转完成，树已平衡，退出循环
        
        /*................................................*/
    }
    // 4、除了上述3种情况，平衡因子不可能有其它的值，报错处理
    else
    {
        assert(false);
    }
}

1.3.3 根据更新后BF的情况，进行平衡化操作

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为4种：

旋转的本质：在遵循二叉搜索树的规则下，让左右均衡，降低整棵树的高度。

该进行哪种旋转操作？– 引发旋转的路径是直线就是单旋，如果是折线就是双旋。

注意：此处看到的树，可能是一颗完整的树，也可能是一颗子树。
① 右单旋 - 新节点插入较高左子树的最左侧
将新的节点插入到了 parent 左孩子的左子树上，导致的不平衡的情况。

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树高度增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能让其成为30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能让其成为60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
引发右单旋的条件：

1. 父亲左边高，右边低，所以要让父亲往右旋。
2. parent 的平衡因子为 -2，parent 左孩子平衡因子为 -1，观察发现，平衡因子都是负数，说明是左边高，也说明了==【引发旋转的路径是一条直线】==，所以我们要右旋操作。
   右单旋操作：
3. 让 subL 的右子树 subLR 成为 parent 的左子树（因为 subLR 的右子树根节点值大于30，小于60）
4. 让 parent 成为 subL 的右子树（因为60大于30）
5. 让 subL 变成这个子树的根
   这一步操作前需要先判断下：parent 是根节点，还是一个普通子树
   如果是根节点，则更新 subL 为新的根
   如果是普通子树（可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，这里需要判断下），然后更新 subL 为这个子树的根节点
6. 根据树的结构，更新 parent 和 subL 的平衡因子为0
   在旋转过程中，更新双亲指针的指向，有以下几种情况需要考虑：
7. subL 的右子树 subLR 可能存在，也可能为空。（当不为空时才更新 subL 右子树 subLR 的双亲指针指向）
8. 旋转完成后，subL 的双亲节点，可能是空，也可能是 parent 原先的父节点。（所以更新 subL 的双亲指针前需要判断下）
   代码如下：

总的来说，就是依次调整 subLR、parent、subL 的位置和双亲指针的指向。

// 右单旋
void treeRotateRight(Node* parent)
{
    // subL：parent的左孩子
    // subLR：parent左孩子的右孩子
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = parent->_left->_right;

    // 1、让subL的右子树subLR成为parent的左子树
    parent->_left = subLR;
    // 1.1、如果subLR不为空
    if (subLR)
    {
        subLR->_parent = parent; // 更新subLR的双亲指针，指向parent
    }

    // 2、让parent成为subL的右子树
    subL->_right = parent;

    // 2.1、记录下parent的父节点
    Node* ppNode = parent->_parent;

    // 2.2、更新parent的双亲指针，指向subL
    parent->_parent = subL;

    // 2.3、判断parent是不是根节点
    // 是根节点
    if (parent == _root)
    {
        _root = subL;            // 更新subL为新的根
        subL->_parent = nullptr; // 更新subL的双亲指针，指向空
    }
    // 不是根节点，就是一个普通子树
    else
    {
        // 判断parent原先是左孩子还是右孩子
        if (ppNode->_left == parent)
        {
            ppNode->_left = subL; // parent原先的双亲节点接管subL，subL为这个子树的根
        }
        else
        {
            ppNode->_right = subL;
        }

        subL->_parent = ppNode; // 更新subL的双亲指针
    }

    // 根据调整后的结构更新parent和subL的平衡因子
    parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

② 左单旋 - 新节点插入较高右子树的最右侧
将新的节点插入到了 parent 右孩子的右子树上，导致的不平衡的情况。

引发左单旋的条件：

父亲右边高，左边低，所以要让父亲往左旋。
parent 的平衡因子为 2，parent 右孩子平衡因子为 1，观察发现，平衡因子都是正数，说明是右边高，也说明了==【引发旋转的路径是一条直线】==，所以我们要左旋操作。

左单旋操作：

1. 让 subR 的左子树 subRL 成为 parent 的右子树（因为 subRL 的左子树根节点值大于30，小于60）
2. 让 parent 成为 subR 的左子树（因为30小于60）
3. 让 subR 变成这个子树的根
   这一步操作前需要先判断下：parent 是根节点，还是一个普通子树
   如果是根节点，则更新 subR 为新的根
   如果是普通子树（可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，这里需要判断下），然后更新 subR 为这个子树的根节点
   根据树的结构，更新 parent 和 subR 的平衡因子为0

在旋转过程中，更新双亲指针的指向，有以下几种情况需要考虑：
subR 的左子树 subRL 可能存在，也可能为空。（当不为空时才更新 subR 左子树 subRL 的双亲指针指向）
旋转完成后，subR 的双亲节点，可能是空，也可能是 parent 原先的父节点。（所以更新 subR 的双亲指针前需要判断下）
代码如下：

总的来说，就是依次调整 subRL、parent、subR 的位置和双亲指针的指向。

// 左单旋
void treeRotateLeft(Node* parent)
{
    // subR：父亲的右孩子
    // subRL：父亲的右孩子的左孩子（大于父亲，小于subR）
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;

    // 1、让subRL成为父亲的右子树
    parent->_right = subRL;
    // 如果subRL不为空
    if (subRL)
    {
        subRL->_parent = parent; // 更新subRL双亲指针，指向parent
    }

    // 2、让parent成为subR的左子树
    subR->_left = parent;

    // 2.1、先记录下parent的双亲节点
    Node* ppNode = parent->_parent;

    // 2.2、更新parent双亲指针的指向
    parent->_parent = subR;

    // 2.3、判断parent是不是根节点
    // 是根节点
    if (parent == _root)
    {
        _root = subR;            // subR为新的根
        subR->_parent = nullptr; // subR双亲指针指向空
    }
    // 不是根节点，就是一个普通子树
    else
    {
        // 判断parent原先是左孩子还是右孩子
        if (ppNode->_left == parent)
        {
            ppNode->_left = subR; // parent原先的双亲节点接管subR，subR为这个子树的根
        }
        else
        {
            ppNode->_right = subR;
        }

        subR->_parent = ppNode; // 更新subR的双亲指针
    }

    // 根据树的结构，更新parent和subR的平衡因子
    parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

③ 左右双旋 - 新节点插入较高左子树的右侧
将新的节点插入到了 parent 左孩子的右子树上，导致的不平衡的情况。
这时我们需要的是先对 parent 的右孩子进行一次左旋，再对 parent 进行一次右旋。

这里可以观察到一个现象： 节点60的左右子树被分走了，左子树最终成了30的右子树，右子树最终成了90的左子树。

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{
PNode pSubL = pParent->_pLeft;
PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
 
  // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
点的平衡因子
int bf = pSubLR->_bf;
 
  // 先对30进行左单旋
_RotateL(pParent->_pLeft);
 
  // 再对90进行右单旋
_RotateR(pParent);
if(1 == bf)
pSubL->_bf = -1;
else if(-1 == bf)
pParent->_bf = 1;
}

*** 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋***

参考右左双旋。
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
   当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
   当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
   当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
   当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
   旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

2 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树
   如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
   每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
   节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == pRoot) return true;
 
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot-

>_pRight);
}

AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
验证其是否为二叉搜索树
如果中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。

验证其是否为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1

节点的平衡因子是否计算正确
（1）首先写一个计算当前树高度的函数

// 计算当前树的高度
int Height(Node* root)
{
    // 当前树为空，则高度为0
    if (root == nullptr)
        return 0;

    // 当前树不为空，计算左右子树的高度
    int leftHeight = Height(root->_left);
    int rightHeight = Height(root->_right);

    // 当前树的高度 = 左右子树中高度最大的那个加1
    return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}

（2）检查AVL树是否平衡，思路一：自顶向下的暴力解法

// 检查AVL树是否平衡，思路一
bool IsBalance1()
{
    return _IsBalance1(_root);
}
bool _IsBalance1(Node* root)
{
    // 当前树为空，说明是平衡的
    if (root == nullptr)
        return true;

    // 当前树不为空，计算左右子树的高度
    int leftHeight = Height(root->_left);
    int rightHeight = Height(root->_right);

    if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) // 检查当前树的平衡因子是否计算正确
    {
        cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
    }
    
    // 左右子树高度相减的绝对值小于2，说明当前树是平衡的，则继续往下判断其它子树
    return abs(leftHeight - rightHeight) < 2
        && _IsBalance1(root->_left)
        && _IsBalance1(root->_right);
}

（3）检查AVL树是否平衡，思路二：自底向上的高效解法（动态规划，前一个子问题的解，能够用于后一个问题求解）

// 检查AVL树是否平衡，思路二
bool IsBalance2()
{
    return _IsBalance2(_root) != -1;
}

int _IsBalance2(Node* root)
{
    // 先判断当前树的左、右子树是否平衡，再判断当前树是否平衡
    // 不平衡返回-1，平衡则返回当前树的高度

    // 当前树为空，返回高度0
    if (root == nullptr)
        return 0;

    // 当前树不为空，分别计算左右子树的高度
    int leftHeight = _IsBalance2(root->_left);
    int rightHeight = _IsBalance2(root->_right);
    
    if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) // 检查当前树的平衡因子是否计算正确
    {
        cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
    }
    
    // 左子树高度等于-1、右子树高度等于-1、左右子树高度差的绝对值大于1，说明当前树不平衡
    if (leftHeight == -1 || rightHeight == -1 || abs(leftHeight - rightHeight) > 1)
        return -1;

    // 运行到这里来了，说明当前树是平衡的，返回当前树的高度
    return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}

2.1 AVL树 - 删除节点（了解）

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，如果出现不平衡树，进行旋转。只不过与二叉搜索树不同的是，AVL树删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

2.2 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，接近于完全二叉树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 O(log2N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。