Sparse Array Beamformer Design via ADMM阅读笔记

摘要

本文提出了一种自适应波束形成的稀疏阵列设计算法。我们的策略是基于找到一个稀疏的波束形成器的权重，以最大限度地提高输出信号干扰噪声比（SINR）。该方法利用交替方向乘子法（ADMM），并承认在每个ADMM迭代的封闭形式的解决方案。通过证明增广拉格朗日函数的单调性和有界性，分析了算法的收敛性。此外，我们还证明了该算法收敛于Karush-Kuhn-Tucker平稳点集.数值结果显示其优异的性能，这是相媲美的穷举搜索方法，略优于当前的最先进的解决方案，包括半无限松弛（SDR），其变体（SDR-V），和连续凸近似（SCA）的方法，并显着优于其他几个稀疏阵列设计策略，在输出SINR。此外，提出的ADMM算法优于SDR，SDR-V，SCA方法，在计算复杂度方面。

简介

自适应阵列已广泛应用于各种实际应用中，例如雷达，声纳，无线通信等[2]。它们的重要功能之一是波束形成，即在抑制干扰和噪声的同时提取感兴趣信号（SOI）（Signal of Interest）[3]。据报道，波束形成的性能不仅受到波束形成器权重的影响，而且还受到阵列配置的影响[4]。在这个意义上，传统的均匀阵列可能不是自适应波束形成器设计的最佳选择。另一方面，由于稀疏阵列实现了增加的阵列孔径和自由度，同时降低了硬件的复杂性，相比于传统的均匀阵列。因此，稀疏阵列可能是自适应波束形成器设计的更好选择。

另一方面，许多研究工作考虑了混合结构通信系统的波束形成器设计[5]，[6]，[7]，[8]。混合架构是用于在毫米波（mmWave）频率处提供多输入多输出（MIMO）通信的增强益处的一种方法。在这样的混合系统中，存在比天线更少数量的射频（RF）链。请注意，RF链比天线贵得多。混合结构提供了系统性能和硬件复杂性之间的折衷。对于这样的配置，它提出了一个问题，即如何自适应地将可用的RF链切换到相应的天线子集，这可以被解释为稀疏阵列波束形成器设计。

相关工作

[9] M. B. Hawes and W. Liu, “Location optimization of robust sparse
antenna arrays with physical size constraint,” IEEE Antennas Wireless
Propag. Lett., vol. 11, pp. 1303–1306, 2012.

近年来，已经提出了用于设计稀疏阵列波束形成器的若干策略，参见例如[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]以及其中的参考文献。[9]研究了方向矢量失配情况下的稀疏阵列设计问题。[10]聚焦于特定的稀疏阵列，即，互质阵列，用于自适应波束形成。在**[11]中开发了一种约束归一化最小均方方法**。然而，没有理论分析的收敛性的算法。作者在[12]中考虑了资源分配和干扰管理问题，并提出了一种组稀疏波束形成方法。提出了一种可重构自适应天线阵列策略，以最小化期望信号和干扰之间的空间相关系数[13]。[14]研究了稀疏阵列波束形成的设计问题，首先将整个阵列划分为若干互不重叠的子组，然后在每个子组中选择一个天线。通过使用正则化开关网络，[15]提出了一种认知稀疏波束形成器，它适应于环境动态。在[16]中，作者研究了不完美信道状态信息下的联合波束成形和天线选择问题，并开发了一种有效的分支和定界（B&B）方法和一种基于机器学习的方案。[17]和[18]考虑稀疏阵列设计，以实现单点源、多点源和宽带源的不同场景的最大信号与干扰加噪声比（SINR）。与大多数现有的工作不同，我们的目标是通过使用较少的RF链（与天线数量相比）来最大化输出SINR，我们的主要贡献包括开发一种有效的算法来解决由此产生的问题，并提供理论保证所提出的算法的收敛性。

从算法的角度来看，现有的方法大致可以分为三类：基于贪婪的，基于机器学习和基于优化的方法。[12]，[13]，[19]中的贪婪过程大大减少了组合探索空间，但可能导致高度次优的解决方案。机器学习技术[16]，[20]，[21]，[22]，[23]需要用于训练步骤的先验数据，这在某些实际场景中可能不可用。另一方面，基于优化的方法包括B&B [16]，混合整数规划（MIP）[24]，[25]，[26]，半定松弛（SDR）[17]，[18]，[28]，[29]，[33]，[39]和连续凸逼近（SCA）[34]，[35]，[36]。B&B和MIP能够以较大的计算负担为代价找到全局最优解。当所得矩阵的维数较高时，基于SDR和SCA的方法在计算上是昂贵的[40]，[41]。此外，SDR的松弛性质通常会导致秩不为1的解决方案，在这种情况下，需要基于随机化的额外后处理[42]。此外，请注意[17]，[18]，[28]，[29]中的SDR方法使用1-范数平方而不是1-范数进行稀疏性提升。尽管这些论文以及本文第VI-C节中的模拟结果证明了SDR型方法的有用性，但由于无法保证Pareto边界的凸性（在[28]和[29]中也提到），因此没有理论支持。另一方面，SCA方法的另一个缺点在于它需要一个可行的起点，这本身可能是一项艰巨的任务[40]。

贡献

提出了一种基于交替方向乘法器（ADMM）的自适应波束形成稀疏阵列设计算法。所提出的技术承认在每个ADMM迭代的封闭形式的解决方案。通过证明增广拉格朗日函数的单调性和有界性，给出了算法的收敛性分析。此外，还证明了算法收敛于KKT（Karush-Kuhn-Tucker）稳定点集.仿真结果表明，我们的计划表现出色，因为它优于现有的几种方法，是相媲美的穷举搜索方法。

请注意，本文的部分内容是在其会议前身中提出的，即，[1]的文件。与[1]相比，本文所做的改进和补充贡献如下。

1. 在[1]中，我们只提供了命题1的一个说明性例子，而没有证明。因此，在本文中，除了一个说明性的例子，我们还提供了一个严格的数学证明的方式。
2. 文[1]中没有分析所提出的ADMM的收敛性。而在本文中，我们提供了这样的收敛性分析在理论上，并提供了大量的数值模拟来验证理论的发展，见本文章中的第四和第六节，分别。
3. 在本文中，我们考虑了算法的计算复杂性，见第VI-B节，这在[1]中没有提到。
4. 此外，本文还考虑了现有的稀疏阵设计策略（枚举法、随机稀疏阵、紧凑均匀线阵、嵌套阵、互质阵、半定松弛法、逐次凸逼近法等）。

另一方面，我们的算法和理论结果主要是在[41]和[43]中提出的思想的基础上发展起来的。几个差异突出如下。

1. 与文献[41]使用ADMM求解一般的二次约束二次规划（QCQP）问题不同，我们专注于稀疏阵列波束形成器设计中出现的特定QCQP问题。我们的问题涉及1-范数正则化，因此我们的解决方案是稀疏的，这不是[41]中的情况。
2. 我们的工作和[41]之间的另一个重要区别在于，后者只提供了一个较弱的收敛结果，即，如果ADMM收敛，则它收敛到KKT稳定点，见[41]中的定理1。另一方面，我们展示了我们的算法更强的收敛结果。也就是说，我们首先证明了所提出的算法的收敛性在一个温和的条件下，然后我们证明了它收敛到一个KKT平稳点。
3. 注意，[43]需要对Lipschitz梯度连续性以及目标函数的有界性进行额外的假设。在我们的工作中，我们既不需要这样的假设，也不需要任何其他假设。
4. 由于[43]考虑了一般的非凸问题，因此没有导出其参数的显式表达式。相反，当我们考虑稀疏阵列波束形成器设计的一个特定的非凸问题时，我们的目标函数的性质已经被研究，从而以显式的方式给出了几个参数。例如引理1中的增广拉格朗日参数ρ和强凸参数γv。
5. [43]中的结果是基于增广拉格朗日函数的，而我们利用了标度形式的增广拉格朗日函数。这导致以下三个方面的显著差异：证明了增广拉格朗日函数的单调性，证明了点列的性质，证明了算法收敛于KKT平稳点集;分别参见引理1、定理1和定理2的证明。

系统模型

考虑由$M$个天线传感器组成的紧凑均匀线性阵列（compact uniform linear array，compact ULA），其中术语紧凑意味着两个相邻天线的单元间距等于入射信号的半波长。我们将单元间距大于半波长的矩阵称为稀疏矩阵(sparse ULA)。将$\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{C}}^M$表示为compact ULA的观测向量，其可以建模为：