主要内容包括：
1、高斯分布
2、箱线图
3、HBOS
1、概述
在统计学方法对数据的正常性做出假定。
它们假定正常的数据对象由一个统计模型产生，而不遵守该模型的数据是异常点（outlier）。
统计学方法的有效性（efficient）高度依赖于对给定数据所做的统计模型假定是否成立。
异常检测的统计学方法的一般思想是：学习一个拟合给定数据集的生成模型，然后识别该模型低概率区域中的对象，把它们作为异常点。
异常检测的统计学方法可以划分为两个主要类型：参数方法和非参数方法。
参数方法假定正常的数据对象被一个以为参数的参数分布产生。
某对象是由给定分布产生的概率值源于该参数分布的概率密度函数
该值越小，x越可能是异常点。
非参数方法并不假定先验统计模型，而是试图从输入数据确定模型，参数灵活而非无参
2、参数方法
2.1 基于正态分布的一元异常点检测
一元数据：仅涉及一个属性或变量的数据
我们假定数据由正态分布产生，然后可以由输入数据学习正态分布的参数，并把低概率的点识别为异常点。
假定输入数据集为，且$，由样本确定参数和。
求出参数之后，我们就可以根据概率密度函数计算数据点服从该分布的概率。正态分布的概率密度函数为
如果计算出来的概率低于阈值，就可以认为该数据点为异常点。
阈值：经验值，可以选择在验证集上使得评估指标值最大（也就是效果最好）的阈值取值作为最终阈值。
例如常用的3sigma原则中，如果数据点超过范围，那么这些点很有可能是异常点。
这个方法还可以用于可视化。我们可以使用箱线图对数据分布做了一个简单的统计可视化，异常点常被定义为小于Q1－1.5IQR或大于Q3+1.5IQR的那些数据。
用Python画一个简单的箱线图：
2.2 多元异常点检测
涉及两个或多个属性或变量的数据称为多元数据。许多一元异常点检测方法都可以扩充，用来处理多元数据。其核心思想是把多元异常点检测任务转换成一元异常点检测问题。例如基于正态分布的一元异常点检测扩充到多元情形时，可以求出每一维度的均值和标准差。对于第$j$维：
$\mu_j=\frac 1m\sum_{i=1}^m x_j^{(i)}$
$\sigma_j^2=\frac 1m\sum_{i=1}^m (x_j^{(i)}-\mu_j)^2$
计算概率时的概率密度函数为
$p(x)=\prod_{j=1}^n p(x_j;\mu_j,\sigma_j^2)=\prod_{j=1}^n\frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma_j}exp(-\frac{(x_j-\mu_j)^2}{2\sigma_j^2})$
这是在各个维度的特征之间相互独立的情况下。如果特征之间有相关性，就要用到多元高斯分布了。
1.3 多个特征相关，且符合多元高斯分布
$\mu=\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}x^{(i)}$
$\sum=\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}(x^{(i)}-\mu)(x^{(i)}-\mu)^T$
$p(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}} \exp \left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^{T} \Sigma^{-1}(x-\mu)\right)$
ps:当多元高斯分布模型的协方差矩阵$\sum$为对角矩阵，且对角线上的元素为各自一元高斯分布模型的方差时，二者是等价的。
3.使用混合参数分布
在许多情况下假定数据是由正态分布产生的。当实际数据很复杂时，这种假定过于简单，可以假定数据是被混合参数分布产生的。
3、非参数方法
在异常检测的非参数方法中，“正常数据”的模型从输入数据学习，而不是假定一个先验。通常，非参数方法对数据做较少假定，因而在更多情况下都可以使用。
例子：使用直方图检测异常点。
直方图是一种频繁使用的非参数统计模型，可以用来检测异常点。该过程包括如下两步：
步骤1：构造直方图。使用输入数据（训练数据）构造一个直方图。该直方图可以是一元的，或者多元的（如果输入数据是多维的）。
尽管非参数方法并不假定任何先验统计模型，但是通常确实要求用户提供参数，以便由数据学习。例如，用户必须指定直方图的类型（等宽的或等深的）和其他参数（直方图中的箱数或每个箱的大小等）。与参数方法不同，这些参数并不指定数据分布的类型。
步骤2：检测异常点。为了确定一个对象是否是异常点，可以对照直方图检查它。在最简单的方法中，如果该对象落入直方图的一个箱中，则该对象被看作正常的，否则被认为是异常点。
对于更复杂的方法，可以使用直方图赋予每个对象一个异常点得分。例如令对象的异常点得分为该对象落入的箱的容积的倒数。
使用直方图作为异常点检测的非参数模型的一个缺点是，很难选择一个合适的箱尺寸。一方面，如果箱尺寸太小，则许多正常对象都会落入空的或稀疏的箱中，因而被误识别为异常点。另一方面，如果箱尺寸太大，则异常点对象可能渗入某些频繁的箱中，因而“假扮”成正常的。
4、基于角度的方法
基于角度的方法的主要思想是：数据边界上的数据很可能将整个数据包围在一个较小的角度内，而内部的数据点则可能以不同的角度围绕着他们。如下图所示，其中点A是一个异常点，点B位于数据内部。
如果数据点与其余点离得较远，则潜在角度可能越小。因此，具有较小角度谱的数据点是异常值，而具有较大角度谱的数据点不是异常值。
考虑三个点X,Y,Z。如果对于任意不同的点Y,Z，有：
$$ W \operatorname{Cos}(\overrightarrow{X Y}, \overrightarrow{X Z})=\frac{\langle\overline{X Y}, X Z\rangle}{|X Y||X Z|} $$ 其中$||\space||$代表L2范数 , $< · > $代表点积。
这是一个加权余弦，因为分母包含L2-范数，其通过距离的逆加权进一步减小了异常点的加权角，这也对角谱产生了影响。然后，通过改变数据点Y和Z，保持X的值不变计算所有角度的方法。相应地，数据点X的基于角度的异常分数（ABOF）∈ D为：
$$ A B O F(X)=\operatorname{Var}_{{Y, Z \in D}} W \operatorname{Cos}(\overrightarrow{X Y}, \overrightarrow{X Z}) $$
5、HBOS
HBOS全名为：Histogram-based Outlier Score。它是一种单变量方法的组合，不能对特征之间的依赖关系进行建模，但是计算速度较快，对大数据集友好。其基本假设是数据集的每个维度相互独立。然后对每个维度进行区间(bin)划分，区间的密度越高，异常评分越低。
HBOS算法流程：
1.为每个数据维度做出数据直方图。对分类数据统计每个值的频数并计算相对频率。对数值数据根据分布的不同采用以下两种方法：
静态宽度直方图：标准的直方图构建方法，在值范围内使用k个等宽箱。样本落入每个桶的频率（相对数量）作为密度（箱子高度）的估计。时间复杂度：$O(n)$
2.动态宽度直方图：首先对所有值进行排序，然后固定数量的$\frac{N}{k}$个连续值装进一个箱里，其中N是总实例数，k是箱个数；直方图中的箱面积表示实例数。因为箱的宽度是由箱中第一个值和最后一个值决定的，所有箱的面积都一样，因此每一个箱的高度都是可计算的。这意味着跨度大的箱的高度低，即密度小，只有一种情况例外，超过k个数相等，此时允许在同一个箱里超过$\frac{N}{k}$值。
时间复杂度：$O(n\times log(n))$
2.对每个维度都计算了一个独立的直方图，其中每个箱子的高度表示密度的估计。然后为了使得最大高度为1（确保了每个特征与异常值得分的权重相等），对直方图进行归一化处理。最后，每一个实例的HBOS值由以下公式计算：
$$ H B O S(p)=\sum_{i=0}^{d} \log \left(\frac{1}{\text {hist}_{i}(p)}\right) $$
推导过程：
假设样本p第 i 个特征的概率密度为$p_i(p)$ ，则p的概率密度可以计算为： $$ P(p)=P_{1}(p) P_{2}(p) \cdots P_{d}(p) $$ 两边取对数： $$ \begin{aligned} \log (P(p)) &=\log \left(P_{1}(p) P_{2}(p) \cdots P_{d}(p)\right) =\sum_{i=1}^{d} \log \left(P_{i}(p)\right) \end{aligned} $$ 概率密度越大，异常评分越小，为了方便评分，两边乘以“-1”： $$ -\log (P(p))=-1 \sum_{i=1}^{d} \log \left(P_{t}(p)\right)=\sum_{i=1}^{d} \frac{1}{\log \left(P_{i}(p)\right)} $$ 最后可得： $$ H B O S(p)=-\log (P(p))=\sum_{i=1}^{d} \frac{1}{\log \left(P_{i}(p)\right)} $$
5、总结
1.异常检测的统计学方法由数据学习模型，以区别正常的数据对象和异常点。使用统计学方法的一个优点是，异常检测可以是统计上无可非议的。当然，仅当对数据所做的统计假定满足实际约束时才为真。
2.HBOS在全局异常检测问题上表现良好，但不能检测局部异常值。但是HBOS比标准算法快得多，尤其是在大数据集上。
参考资料
[1] Goldstein, M. and Dengel, A., 2012. Histogram-based outlier score (hbos):A fast unsupervised anomaly detection algorithm . InKI-2012: Poster and Demo Track, pp.59-63.
[2] http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses.html
[3] http://cs229.stanford.edu/
[4] 《Outlier Analysis》——Charu C. Aggarwal