前缀和与差分算法详解

一、前缀和

1.1 一维前缀和

1.1.1 思路

一维前缀和主要是求一维数组的前缀和，我们可以利用一个等大的数组当前缀和数组，计算该位置之前所有数的值。

当我们想计算下标4 到 6的元素和的时候，不需要再遍历一遍求了，直接让前缀和的下标6元素减去下标3的元素即可。

要注意不管是原数组还是前缀和都多开一个空间，第一个位置放0，目的是为了方便初始化前缀和数组。

1.1.2 例题：前缀和

题目链接

题目描述

输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

代码如下

#include

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int a[N], s[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    int l, r;
    while(m--)
    {
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

1.2 二维前缀和

1.2.1 思路

初始化：
二维前缀和就是用来求二维数组的前缀和。初始化前缀和数组：
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];其中s为前缀和数组，注意要多开一个位置放0以便初始化前缀和数组。
如图：

假设要求前缀和数组红色部分，那么就是绿色区域加上蓝色区域再减去重复的区域，最后加上原数组红色的位置。


假设我们已经初始化完成了，现在就是求指定矩形的前缀和：

现在我们要利用前缀和数组求(x1, y1)，(x2, y2)区域的前缀和。
也就是(x2, y2)的矩形减去蓝色区域的前缀和。

公式：

s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]

1.2.2 例题：子矩阵的和

题目链接

题目描述

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

代码如下

#include 

using namespace std;

const int N = 1010, M = 1010;

int a[N][M], s[N][M];

int main()
{
    int n, m, q;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
    
    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        cout << s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

二、差分

2.1 一维差分

2.1.1 思路

差分的意思就是构建一个数组，让原数组是差分数组的前缀和数组。

而差分数组的意义就是如果我们要让原数组一段区间全部加上一个数字（5），就不需要一个个遍历然后再加，假设区间是（3, 6）。我们直接在差分数组的下边3位置+5，再让下标7元素-5（不能影响后边的）。进行完后因为差分数组的前缀和就是原数组，所以前缀和求完就是原数组。

而差分数组的初始化就是不用我们自己做，我们本来就要写一个函数（在l 和 r区间所有元素 + val）

void insert(int* b, int l, int r, int val)
{
    b[l] += val;
    b[r + 1] -= val;
}

那么初始化的时候直接

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    insert(b, i, i, a[i]);
}

即可。

2.1.2 例题：差分

题目链接

题目描述

输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

代码如下：

#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int a[N], b[N];

void insert(int* b, int l, int r, int val)
{
    b[l] += val;
    b[r + 1] -= val;
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        insert(b, i, i, a[i]);
    }
    while(m--)
    {
        int l, r, val;
        scanf("%d %d %d", &l, &r, &val);
        insert(b, l, r, val);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        b[i] += b[i - 1];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        printf("%d ", b[i]);
    }
    return 0;
}

2.2 二维差分

2.2.1 思路

二维数组加val的操作就是

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int val)
{
    b[x1][y1] += val;
    b[x1][y2 + 1] -= val;
    b[x2 + 1][y1] -= val;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += val;
}

如图我们要对(x1, y1)，(x2, y2)区域加val。

那么我们接下来就在差分数组中进行操作：
我们把(x1, y1)位置加上val，为了不影响后边区域。再减去蓝色区域：（如上公式）

2.2.2 例题：差分矩阵

题目链接

题目描述：

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

代码如下：

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int val)
{
    b[x1][y1] += val;
    b[x1][y2 + 1] -= val;
    b[x2 + 1][y1] -= val;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += val;
}

int main()
{
    int n, m, q;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, val;
        scanf("%d %d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2, &val);
        insert(x1, y1, x2, y2, val);
    }
    // 求b前缀和
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}