【算法基础】前缀和与差分

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系列专栏： 算法
种一棵树最好是十年前其次是现在

1.什么是前缀和

前缀和指一个数组的某下标之前的所有数组元素的和（包含其自身）。前缀和分为一维前缀和，以及二维前缀和。前缀和是一种重要的预处理，能够降低算法的时间复杂度。可以快速地求出某一段的和。

2.一维前缀和

2.1 前缀和公式

已知数组 ：
前缀和：

2.2 前缀和的作用

而且前缀和时间复杂度：预处理O(n),查询O(1)，效率比较高效，后续也会有一些其他的解法，比如说线段树，树状数组等，前缀和的运行时间是最短的。

【补】关于左端边界是1的选择

我们会发现求l到r的和时，用的是,类似于数学里面的数列，此时令下标要l-1>=0，这就保证了不需要定义任何的变量，使用起来比较简单

2.3 习题：前缀和

#include 
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
int a[N],s[N];
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)  scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)  s[i]=s[i-1]+a[i];//前缀和初始化
    
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d %d",&l,&r);
        printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);//区间和计算
    }
    return 0;
    
}

3.二维前缀和

3.1 二维前缀和公式

首先二维前缀和公式的成立是基于容斥定理的，二维前缀和实际上就是二维数组上的前缀和了。一维数组的前缀和也是一个一维数组，同样地，二维数组的前缀和也是一个二维的数组。

红色区域的和：

3.2 习题：子矩阵的和

这一子矩阵中的所有数之和为：

#include 
using namespace std;
const int N =1010;
int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
            
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];//求前缀和
            
            
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);//算子矩阵的和
    }
    return 0;
}

4.什么是差分

类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。

5.一维差分

5.1 习题：差分

a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。

首先让差分b数组中的 b[l] + c ,a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c,,,,,, ，a[n] + c;

然后我们还需要补充，b[r+1] - c, a数组变成 a[r+1] - c,a[r+2] - c,,,,,,,，a[n] - c;

我们画个图理解一下这个公式的由来:

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int a[N], b[N];
int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i] - a[i - 1];//构建差分数组
    }
    int l, r, c;
    while (m--)
    {
        scanf("%d %d %d", &l, &r, &c);
        b[l] += c;//将[l,r]之间的每个数都加上c
        b[r + 1] -= c;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        a[i] = b[i] + a[i - 1];//前缀和运算
        printf("%d ", a[i]);
    }
    return 0;
}

5.2 时间复杂度的分析

如果采用暴力方法，用for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n*m)。考虑差分做法可极大地降低复杂度。给a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。

6.二维差分

6.1 习题：差分矩阵

#include 
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
int main()
{
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
            //同时求二维差分矩阵b，即将前缀和公式移项
            b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        //差分数组的模拟
        b[x1][y1]+=c;
        b[x1][y2+1]-=c;
        b[x2+1][y1]-=c;
        b[x2+1][y2+1]+=c;
    }
    
    //根据二维差分数组b去求二维前缀和矩阵a
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]+b[i][j];
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            printf("%d ",a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
    
}

6.2 差分矩阵的模拟

假定我们已经构造好了b数组，类比一维差分，我们执行以下操作来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c：

b[x1][y1] + = c;
b[x1,][y2+1] - = c;
b[x2+1][y1] - = c;
b[x2+1][y2+1] + = c;

每次对b数组执行以上操作，等价于：

for(int i=x1;i<=x2;i++)
  for(int j=y1;j<=y2;j++)
      a[i][j]+=c;

图解过程：

b[x1][ y1 ] +=c ; //让整个a数组中矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c ; //让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]- =c ; //让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c; //让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。