第79篇 C++实现未知假币重量的假币问题（一）三分法

1.假币问题描述

在n枚外观相同的硬币中，有一枚硬币是假币，但是不知道假币的重量是较重还是较轻，请设计算法找出这枚假币。

2.三分法实现思路

（1）在n枚硬币中只有一枚是假币，且未知假币重量。
（2）把假币分成A，M，B三堆，确保第一堆A和第三堆B的硬币数量是相同（相等）的。用model记录真币。
（3）称第一堆A的重量为sumA，第三堆B的重量为sumB，如果sumA和sumB是相等的，真币为model = A[0]，那么假币在第二堆M上，否则第二堆全是真币。
（4）如果sumA和sumB不相等，则真币在第二堆，真币model = M[0]，此时计算第一堆和第三堆的长度（二者长度相等），得长度num，如果sumA等于num * model，说明A里面是真币，假币在B堆里面，否则，假币在A堆里面。
（5）我们输入的数量n一定要大于等于3，小于3无法判别。
（6）用model记录真币的重量，初始值是-1（硬币重量大于0），因为n大于等于3，所以一定能够找到真币，model的值一定发生变化。
（7）这是一个递归算法，考虑数量减少到1和2的情况，如果数量递减到1，那么剩下的这一个就是真币了（当然，也可以输入没有假币的情况，然后根据真币重量比较，如果返回的硬币和真币重量是一样的，那么就没有假币）；如果只剩两枚硬币，则判断第一枚是否是假币，是就返回第一枚，否则返回第二枚。

有一个问题就是怎么保证A堆和B堆数量相等？
在纸上写了多种n的不同分法，发现了一个公式。

公式	A的最后一个下标：n/3 - 1	B的第一个下标：2*(n/3) + n % 3	下标
n = 3	0	2	0,1,2
n = 4	0	3	0,1,2,3
n = 5	0	4	0,1,2,3,4
n = 6	1	4	0,1,2,3,4,5
n = 7	1	5	0,1,2,3,4,5,6
n = 8	1	6	0,1,2,3,4,5,6,7
n = 9	2	6	0,1,2,3,4,5,6,7,8

这样分A和B的数量就是相等的。
注意2n/3和2(n/3)结果是不一样的，比如n=5，25/3 = 3，2（5/3） = 2。

3.代码实现

两个算法函数，一个称重函数，一个测试函数。
递归和迭代可相互转化，只要控制好范围就没有问题。

#include 
using namespace std;

int weightSum(int *coins, int begin, int end);
int findBadCoinIterate(int *coins, int length, int &model);
int findBadCoinRecursion(int *coins, int begin, int end, int &model);
void findBadCoinTest();

int main() {
	findBadCoinTest();
	return 0;
}

int weightSum(int *coins, int begin, int end) {
	int sum = 0;
	for(int i = begin;i <= end;i++) {
		sum += coins[i];
	}
	
	return sum;
}

//递归实现
int findBadCoinRecursion(int *coins, int begin, int end, int &model) {
	int n = end - begin + 1;
	if(n == 1) {
		return begin;//因为只剩一个硬币了
	}
	else if(n == 2) {
		return coins[begin] != model ? begin : end;//两个之中只有一个是假币，注意model肯定是真币，因为在n >= 3的时候求过了
	}
	
	int midl = n / 3 - 1;//A堆的最后一个
	int midr = 2 * (n / 3) + n % 3;//B堆的第一个
	int sumA = weightSum(coins, begin, midl + begin);//称重
	int sumB = weightSum(coins, midr + begin, end);
	if(sumA == sumB) {
		model = coins[begin];//找到真币，假币在中间那堆
		return findBadCoinRecursion(coins, midl + begin + 1, midr + begin - 1, model);
	}
	else {
		model = coins[midl + begin + 1];//真币在中间那堆
		int num = midl + 1;//A，B堆的硬币个数，A，B的硬币个数相等，A堆的数量是num = midl + begin - begin + 1 = midl + 1
		if(sumA == num * model) {
			return findBadCoinRecursion(coins, midr + begin, end, model);//假币在B堆
		}
		else {
			return findBadCoinRecursion(coins, begin, midl + begin, model);//假币在A堆
		}
	}
}

//迭代实现
int findBadCoinIterate(int *coins, int length, int &model) {
	int begin = 0;
	int end = length - 1;
	while(begin <= end) {
		int n = end - begin + 1;
		if(n == 1) {
			return begin;
		}
		else if(n == 2) {
			return coins[begin] != model ? begin : end;
		}
		int midl = n / 3 - 1;
		int midr = 2 * (n / 3) + n % 3;
		int sumA = weightSum(coins, begin, midl + begin);
		int sumB = weightSum(coins, midr + begin, end);
		if(sumA == sumB) {
			model = coins[begin];//找到真币
			begin =  midl + begin + 1;//假币在中间那堆，缩小范围
			end = midr + begin - 1;
		}
		else {
			model = coins[midl + begin + 1];
			int nAB = midl + 1;
			if(sumA == nAB * model) {
				begin = midr + begin;//假币在B堆，缩小范围
			}
			else {
				end = midl + begin;//假币在A堆，缩小范围
			}
		}
	}
	
	return -1;
}

//测试
void findBadCoinTest() {
	int contin = 1;
	do {
		system("cls");
		int n = 0;
		cout << "请输入硬币数量n（n > 3）：";
		cin >> n;
		if(n < 3) {
			cout << "你输入的硬币数量太少了！" << endl;
			continue;
		}
		
		int *coins = new int[n];
		cout << "请输入硬币的重量：";
		for(int i = 0;i < n;i++) {
			cin >> coins[i];
		}
		
		int model = -1;
		int index = -1;
		
		cout << "--------递归结果--------\n" << endl;
		model = -1;
		index = findBadCoinRecursion(coins, 0, n - 1, model);
		if(coins[index] > model) {
			cout << "第" << index + 1 << "个硬币是假的，比其他硬币重了！" << endl;
		}
		else if(coins[index] < model) {
			cout << "第" << index + 1 << "个硬币是假的，比其他硬币轻了！" << endl;
		}
		else {
			cout << "没有假币！" << endl;
		}
		
		cout << "\n--------迭代结果--------" << endl;
		model = -1;
		index = findBadCoinIterate(coins, n, model);
		if(coins[index] > model) {
			cout << "第" << index + 1 << "个硬币是假的，比其他硬币重了！" << endl;
		}
		else if(coins[index] < model) {
			cout << "第" << index + 1 << "个硬币是假的，比其他硬币轻了！" << endl;
		}
		else {
			cout << "没有假币！" << endl;
		}
		
		delete []coins;
		
		cout << "继续检测输入1，退出输入0：";
		cin >> contin;
	} while (contin == 1);
	cout << "欢迎再次检测！" << endl;
}

4.结语

看了别人的代码太长了，就自己写一个，主要把思路简化了很多，有一位博主的实在是分的情况太多了，以至于不太好看。


没有时间测太多数据，应该问题不大吧。