数学建模之非线性规划与目标规划
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知识点
1.优化模型建立注意事项
- 决策变量尽量使通量，其标志是下标尽量的多
- 模型中尽量使用连加号
- 同类型的约束统一成一个表达式
- 优化模型尽量不要用数字，包括已知变量
- 决策变量宜多不宜少
- 模型不要用分式，更不能将变量放置分母
- 决策变量要全部或部分出现在目标函数以及所有约束条件当中
- 建立优化模型要顾及自己编程的能力
2.非线性规划
2.1下料问题
客户需求：4米50根、5米10根、6米20根、8米15根。现有19米的原钢管可以购买。由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？
对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
决策变量：
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
增加约束，缩小可行域，便于求解
根据模型编写Lingo代码：
model:
Title 钢管下料- 最小化钢管根数的LINGO模型;
SETS:
NEEDS/1..4/:LENGTH,NUM;
CUTS/1..3/:X;
PATTERNS(NEEDS,CUTS):R;
ENDSETS
DATA:
LENGTH=4 5 6 8;
NUM=50 10 20 15;
CAPACITY=19;
ENDDATA
min=@SUM(CUTS(I): X(I) );
@FOR(NEEDS(I): @SUM(CUTS(J): X(J)*R(I,J) ) >NUM(I) ); !满足需求约束;
@FOR(CUTS(J): @SUM(NEEDS(I): LENGTH(I)*R(I,J) ) CAPACITY-
@MIN(NEEDS(I):LENGTH(I)) ); !合理切割模式约束;
@SUM(CUTS(I): X(I) ) >26; @SUM(CUTS(I): X(I) ) <31; !人为增加约束;
@FOR(CUTS(I)|I#LT#@SIZE(CUTS):X(I)>X(I+1) ); !人为增加约束;
@FOR(CUTS(J): @GIN(X(J)) ) ;
@FOR(PATTERNS(I,J): @GIN(R(I,J)) );
end
结果：用去原料钢管总根数为28根。
模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6米钢管，共10根；
模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5米和1根6米钢管，共10根；
模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管，共8根。原料钢管总根数为28根。
2.2料场的建立与运输
建筑工地的位置(用平面坐标a, b表示，距离单位：公里)及水泥日用量d(吨)下表给出。有两个临时料场位于P (5,1), Q (2, 7),日储量各有20吨。从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？
这里的第一问就是典型的线性规划中的运输问题，上篇博文又讲，这里不过多赘述，我们主要来看第二问定点的问题。
我们设(ai,bi)为第i个工地的坐标，di为第i个工地的需求量。(xi,ji)为新的料场的坐标，cij为从第i个料场运到第j个工地的重量。
根据模型编写Lingo代码：(@bnd限定了范围)
model:
sets:
kc/1..2/:x,y,e;
gd/1..6/:a,b,d;
link(kc,gd):c;
endsets
data:
a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
d=3,5,4,7,6,11; e=20,20;
enddata
!初始段：对集合属性定义初值（迭代算法的迭代初值）;
init:
!初始点;
x,y=5,1,2,7;
endinit
min=@sum(link(i,j):c(i,j)*((x(i)-a(j))^2+(y(i)-b(j))^2)^(1/2));
@for(kc(i):@sum(gd(j):c(i,j))d(j));
@for(kc:@bnd(0.5,x,8.75));
@for(kc:@bnd(0.75,y,7.75));
end
运行了一个小时中断得到的目前为止的最优解：
2.3投资组合问题
某三支股票在12年的收益如下：
解决如下问题：（ 在希望风险小而获利大前提下考虑以上问题。）
（1）如果在1955年你有一笔资金投资这三种股票，并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资？
（2）如果还可以投资国库券，年收益率为5%，如何投资呢？分析投资组合与回报率以及风险的关系。
（3）如果你目前持有的股票比例为：A占50%，B占35%，C占15%，买卖股票按交易额的1%收取交易费，你会怎么办？
（1）如果在1955年你有一笔资金投资这三种股票，并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资？
第一问分析：
一种股票收益的均值衡量这种股票的平均收益状况
一种股票收益的方差衡量这种股票收益的波动幅度
两种股票收益的协方差表示他们之间的相关程度
假设股票A、B、C每年的收益率分别为R1，R2和R3
可计算数学期望：
ER1=0.0890833, ER2=0.213667, ER3=0.234583
协方差矩阵：
决策变量：x1投资股票A 、x2投资股票B 、x3投资股票C
约束条件：
- 资金全部用于投资这三种股票——x1, x2 , x3 ≥0，x1+x2 +x3 = 1
- 年收益率（的数学期望）不低于15%——x1ER1+x2ER2+x3ER3 ≥ 0.15
目标函数：年投资收益率的方差极小