常见的博弈论专题详解（附有例题）

一、巴什博弈（Bash game）

1、概念

 巴什博弈是一种较为简单的减法博弈（Subtraction game），减法博弈的共同特征为玩家轮流从某一总数（对应n件物品）中减去某个数值（对应拿取物品），所减去的数值限定在某个集合中（对应1到m），先将数值减为0者（先拿完物品者）获胜。

2、常见的形式

a.有一堆总数为n的物品，2名玩家轮流从中拿取物品。每次至少拿1件，至多拿m件，不能不拿，最终将物品拿完者获胜。

b.两人轮流报数，先报数的必须报1到m之间的正整数（包含1或m），后面所报数则必须比前一个人所报数大1到m（包含1或m），先说出n者获胜。

3.对应策略

在先取完者胜的巴什博弈中，若n可被m+1整除，则后手方必胜，否则先手方必胜。

原理如下：

先考虑最简单的局面

n

设n=k(m+1)+r（所有的n），其中0<=r<=m;

a.如果r=0,n=k(m+1),若先手取x个，则后手可以对应取(m+1-x)个，则一直处于后手必胜的局面；

b.如果r不等于0，n=k(m+1)+r,则处于先手必胜的局面；

4.核心代码+例题

题目要求：

各位勇敢者要玩的第一个游戏是什么呢？很简单，它是这样定义的：
1、  本游戏是一个二人游戏;
2、  有一堆石子一共有n个；
3、  两人轮流进行;
4、  每走一步可以取走1…m个石子；
5、  最先取光石子的一方为胜；
如果游戏的双方使用的都是最优策略，请输出哪个人能赢。

输入：

输入数据首先包含一个正整数C(C<=100)，表示有C组测试数据。
每组测试数据占一行，包含两个整数n和m（1<=n,m<=1000），n和m的含义见题目描述。

输出：

如果先走的人能赢，请输出“first”，否则请输出“second”，每个实例的输出占一行。

样例：

2

23 2     first

4 3       second

#include
using namespace std;
int n,t,m;
int main()
{
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n>>m;
		if(n%(m+1)==0)
		{
			printf("second\n");//后手必胜 
		}
		else
		{
			
			printf("first\n");//先手必胜 
		}
	}
	return 0;
}

二、尼姆博弈

1.概念

尼姆博弈中涉及到n堆不同的物品，这些堆中各自物品的数量是任意的。两名玩家在轮流行动时，可以选择将某一堆中任意数量的物品拿走，至少1个，至多全部拿走，但不能不拿或跨堆拿取物品。根据规则拿到最后一个物品，使得对手无物品可拿的玩家获胜。

2.常见形式

n堆若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

3.对应策略

若物品堆的尼姆和为0，则后手有必胜策略，否则先手有必胜策略

实现步骤

1.计算尼姆和sum;

2.尼姆和sum=0,则后手必胜

3.尼姆和sum不等于0，则计算sum与每一个物品堆xi的数量的异或值，即：sum⊕xi，直到找到一个(sum⊕xi）

xi-（sum⊕xi）个物品数量，方可以处于先手必胜的局面。

4.延伸（若拿到最后一个物品者必败）

    如果将规则改为拿到最后一个物品者败，可得到尼姆博弈的一种变体。有下面的结论：

1. 若尼姆和为0且所有堆中仅有1个物品，则先手必胜策略；

2. 若尼姆和不为0且至少有一堆物品数量大于1，则先手有必胜策略；

3. 否则后手方有必胜策略。

5.核心代码+例题

题目1：

一年在外 父母时刻牵挂
春节回家 你能做几天好孩子吗
寒假里尝试做做下面的事情吧
陪妈妈逛一次菜场
悄悄给爸爸买个小礼物
主动地 强烈地 要求洗一次碗
某一天早起 给爸妈用心地做回早餐
如果愿意 你还可以和爸妈说
咱们玩个小游戏吧 ACM课上学的呢～
下面是一个二人小游戏：桌子上有M堆扑克牌；每堆牌的数量分别为Ni(i=1…M)；两人轮流进行；每走一步可以任意选择一堆并取走其中的任意张牌；桌子上的扑克全部取光，则游戏结束；最后一次取牌的人为胜者。
现在我们不想研究到底先手为胜还是为负，我只想问大家：
――“先手的人如果想赢，第一步有几种选择呢？”

输入：

输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占2行，首先一行包含一个整数M(1

输出：

如果先手的人能赢，请输出他第一步可行的方案数，否则请输出0，每个实例的输出占一行。

样例：

Sample

Inputcopy	Outputcopy
3 5 7 9 0	1

#include
#define int long long
using namespace std;
const int N=110;
int n;
int a[N];
void init()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
}
signed main()
{
	init();
	while(cin>>n&&n!=0)
	{
		int i,num;
		int f=0;
		int sum=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			cin>>a[i];
			sum^=a[i];
		}
		if(sum==0)
		{
			cout<<"0"<<'\n'; //后手必胜 
		}
		else
		{
			int cnt=0;//先手能赢，第一步可行的方案数，cnt记录方案数量
			for(i=1;i<=n;i++)
			{
				if(a[i]>(a[i]^sum))//(ps:注意>的优先级大于^) 
				{
					cnt++;
				}
			}
			cout<

题目2：

m堆石子,两人轮流取.只能在1堆中取.取完者胜.先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出怎样取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者胜,先取者第1次取时可以从有8个的那一堆取走7个剩下1个,也可以从有9个的中那一堆取走9个剩下0个,也可以从有10个的中那一堆取走7个剩下3个.

输入：

输入有多组.每组第1行是m,m<=200000. 后面m个非零正整数.m=0退出.

输出：

先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出先取者第1次取子的所有方法.如果从有a个石子的堆中取若干个后剩下b个后会胜就输出a b.参看Sample Output.

Sample

Inputcopy	Outputcopy
2 45 45 3 3 6 9 5 5 7 8 9 10 0	No Yes 9 5 Yes 8 1 9 0 10 3

思路：

1.先手输，输出No;

2.先手胜利，输出Yes,然后输出胜利的方案

#include
using namespace std;
const int N=200010;
int a[N];
int n;
void init()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
}
int main()
{
	init();
	while(cin>>n&&n!=0)
	{
		int i;
		int sum=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			cin>>a[i];
			sum^=a[i];
		}
		if(sum==0)
		{
			printf("No\n");
		}
		else
		{
			printf("Yes\n");
			int ans=0;
			for(i=1;i<=n;i++)
			{
				if(a[i]>(sum^a[i]))
				{
					int p=(sum^a[i]);//取走后剩下的数量
					printf("%d %d\n",a[i],p);
				}
			}
		}
	}
	return 0;
} 

三、威佐夫博弈

1.概念

威佐夫博弈（Wythoff's game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

2.常见形式

游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。

3.对应策略

两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先手必胜；反之，后手必胜

a.黄金分割数：1.618=（√5+1）/2 

1.618=(sqrt(5.0)+1)/2

b.公式：

double ans=(int)((b-a)*((sqrt(5.0)+1)/2));

4.核心代码+例题

题目：

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

输入：

输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。

输出：

输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。

Sample

Inputcopy	Outputcopy
2 1 8 4 4 7	0 1 0

#include
#define int long long
using namespace std;
signed main()
{
	double a,b;
	while(cin>>a>>b)
	{
		if(a>b)
		{
			swap(a,b);
		}
		double ans=(int)((b-a)*((sqrt(5.0)+1)/2));
		if(a==ans)
		{
			cout<<"0"<<'\n'; 
	    }
	    else
	    {
	    	cout<<"1"<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}