集合的对等

重点：通过集合的对等考虑集合的数量属性（呜呜呜，数学越来越难了）
定义1：设$X$和$Y$是集合。若$X$和$Y$之间存在双射，则称$X$和$Y$是对等的，或者是等势，记作$X\sim Y$。
注：集合的对等是等价关系，即满足
1、自反性、对称性、传递性。
2、有限集合对等的充要条件是集合元素个数相等；
3、有限集合与无限集合之间不可能存在对等关系。
定义2:设A是无限集合
1、若$A\sim \mathbb{N}$,则称A是可列（可数）集合。记作A的势为$N_0$。
2、不是可列集合的无限集合称为不可列（不可数）集合，例如区间(0,1)的势记为$N$。
注：
1、$N$>$N_0$ (不可数大于可数)
2、任意一个无限集合都存在可列的真子集。从而可以认为，可列集合是“最小”的无限集合。
3、自然数集合、偶数集合、奇数集合、整数集合都是对等的，他们势为$N_0$。（均与$\mathbb{N}$之间存在双射。）
定理1:无限集合可以和自己某一个真子集对等，这是无限集合的本质特征。
举例$(-1,1)\sim \mathbb{R}$，可通过函数$f(x)=tan(\frac{\pi x}{2})$建立双射。
定理2:有限个或者可列多个可列集合的并集还是可列集合
定理3:区间(0,1)是不可列集合