[面试算法]中缀表达式转后缀表达式Python

中缀表达式与后缀表达式

我们平时写的表达式就是中缀表达式，这里面的“中”或“后”指的是操作符相对操作数的位置。例如，a+b*c-d是一个中缀表达式，a+(b+c)*d-e是一个中缀表达式。

后缀表达式，也叫逆波兰表达式，是先写操作数，再写操作符，例如中缀表达式a+b改写为后缀表达式就是ab+。

中缀表达式a+(b+c)*d-e改写为后缀表达式先计算括号里面的，(b+c)转化为后缀表达式为bc+，还需要括号吗？不需要了，后面再看为什么不需要括号。因此(b+c)*d转化过程为：bc+已经可以进行计算了，因此可以当做一个操作数了，所以(b+c)*d转化为后缀的结果是：bc+d*，看到了吗？

那我们能从bc+d*还原成(b+c)*d吗？

可以。从左到右，肯定是两个操作数对应一个操作符，依次读取。先读到了b，再读到了c，然后读到了+，那么先计算b+c，因为是后缀还原中缀，所以这里的b+c用一个括号包围起来，用于表示一个数，即(b+c)。现在有了一个数(b+c)了，还差一个操作数，继续读取，读到了d，还差一个操作符，继续读取，读到了*，那么将(b+c)和d相乘得到(b+c)*d。所以，没有括号的后缀表达式，可以准确唯一对应还原到中缀表达式。上述过程，也说明了计算机会如何计算后缀表达式。后缀表达式，在计算机当中很重要，也是栈的重要应用之一。

下面我们继续将中缀表达式a+(b+c)*d-e转化为后缀表达式，(b+c)*d这一部分已经转化成了bc+d*，把这个结果看做是x，接下来的问题是a+x-e如何转化？可以看到，这里面操作符的优先级相同，是从左到右计算就可以了，结果是ax+e-，最终还原出来就是abc+d*+e-。

通过上述例子，我们简单说明了中缀表达式、后缀表达式的相互转换，手写起来简单，但代码实现比较困难，首先要搞明白优先级、括号匹配的原则和一些特殊的情况，之后就可以写代码实现了。

中缀表达式转后缀表达式的规则

运算符的优先级

我们首先定义优先级，优先级指的是运算符的优先级，优先级高的运算符，应该先完成计算；如果优先级相同，则从左到右计算。这是规定，为了简单起见，我们只考虑四种常见的运算，+、-、*和/。当然了，在编程里面，还有%这个取模的运算符，但其实取模和除法运算法，优先级是一样的。

容易想到的是，*、/的优先级应该比+和-更高，这是无可争议的。问题来了，*和/两个的优先级谁更高呢？+和-两个的优先级谁更高呢？如果规定，*和/两个的优先级相同，+和-两个的优先级相同，没有问题，因为优先级相同，只需要从左到右计算就可以了。例如，按照这个规定，a-b+c当中，两个运算符优先级相同，所以从左到右进行就可以。

转化规则总结

a+((b+c)*d-e)/f-g

下面总结一下，转化的规则，这个规则，如果不能理解的先背下来吧。我们假定所有的表达式都是符合规则的，像12-、2+3*/2((这种不符合规则表达式暂时不考虑，并且先假定，表达式是个字符串，已经被分割成一个一个的元素，不需要考虑12+3当中12是占两个字符该怎么处理，这种问题暂时不考虑。

这个规则当中，需要一个数组用于记录转化的结果，还需要一个栈，用于记录状态，记住：栈当中只存储运算符，不存储数字，数字直接输出到结果数组当中。

进行转化的时候，逐个读取中缀表达式当中的字符，）规则如下：

1. 遇到操作数，直接输出或追加到结果数组当中
2. 遇到左括号，左括号入栈。
3. 遇到右括号，说明这个右括号与与之匹配的左括号之间的表达式，该触发计算了，也就是应该进行转化了。遇到右括号的做法是：栈中元素出栈并且输出到结果数组当中，直到出栈的元素为左括号就停止，左括号不用输出到结果数组当中，因为后缀表达式不需要括号。
4. 遇到运算符，栈必须满足下面三个状态中的一个，才可以将当前元素/当前运算符入栈：
   4.1 如果栈为空，那么当前元素入栈；
   4.2 如果栈不空，判断栈顶元素，如果栈顶元素为(，那么当前元素入栈；
   4.3 如果栈不空，判断栈顶元素，如果栈顶元素的运算符优先级小，那么当前元素入栈。因为栈顶元素如果优先级小，说明其在等待后续的计算完成，栈顶这个运算符才可以完成它的计算，所以当前元素入栈就行。
   如果不满足上述三个条件，那么栈的状态必然是下面这种可能：
   栈不空，栈顶元素不是(，那么栈顶元素是个操作符，且优先级比当前元素高或相等，说明栈顶的这个操作符，是时候完成计算了，不需要再等当前元素了，所以栈顶元素应该出栈。之后，再继续判断栈的状态是否满足4.1、4.2、4.3这三个条件中的一个。
5. 当表达式读取结束，如果栈当中还有元素，将栈当中的元素逐个出栈即可。

一个示例

a+((b+c)*d-e)/f-g
1.遇到操作数a，根据规则1，直接追加到结果数组当中。

2.遇到运算符+，根据规则4，查看栈的状态，发现栈空，符号规则4.1，直接将+入栈。

3.遇到左括号(，根据规则2，左括号直接入栈。

4.遇到左括号(，根据规则2，直接入栈。

5.遇到操作数b，根据规则1，直接追加到结果数组中。

6.遇到运算符+，根据规则4，判断栈顶状态，栈顶元素为(，符合规则