c++逆天改命进阶--AVLTree

1.AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

上图中的 0，-1,1叫做平衡因子；

平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 ，搜索时间复杂度O(log(2)N);

2.AVL树的实现

AVLTree.h

#pragma once
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

template <class K, class V>
struct AVLTreeNode
{

    AVLTreeNode<K, V>* _left;
    AVLTreeNode<K, V>* _right;
    AVLTreeNode<K, V>* _parent;
    int _bf;//平衡因子
    pair<K, V> _kv;
    AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
		, _kv(kv)
   {}
};

template <class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}
	
	void _Destory(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_Destory(root->_left);
		_Destory(root->_right);
		delete root;
	}
	~AVLTree()
	{
		_Destory(_root);
		_root = nullptr;
	}

	V& operator[](const K& key)
	{
		pair<Node*, bool> ret = Insert(make_pair(key, V()));
		return ret.first->_kv.second;
	}
	pair<Node*, bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)//第一次插入
		{
			_root = new Node(kv);
			return make_pair(_root, true);
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)//找到该插入的正确位置
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return make_pair(cur, false);
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		Node* newnode = cur;
		//判断cur是parent的左边还是右边
		if (cur->_kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		} 
		//更新平衡因子
		//如果出现不平衡 即平衡因子等于2或-2，需要旋转

		//当插入一个节点，该节点的所有祖先都需要更新平衡因子
		//我们从最近的祖先开始更新

		while (cur != _root)
		{
			if (cur == parent->_right)//说明右子树变高
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;//左子树变高
			}
			//判断以parent为根节点的这颗子树是否平衡，不平衡就旋转
			if (parent->_bf == 0)//不需要在调了 跳出循环
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//说明插入之前是0，曾左右子树同样高，现在左右某一颗子树变高了，继续更新上面祖先的平衡因子
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//不平衡了，需要旋转
			{
				if (parent->_bf == 2)
				{
					if (cur->_bf == 1)//在较高右子树的右侧插入
					{
						RotateL(parent);
					}
					else//在较高右子树的左侧插入
					{
						RotateRL(parent);
					}
				}
				else
				{
					if (cur->_bf == -1)//在较高左子树的左侧插入
					{
						RotateR(parent);
					}
					else//在较高左子树的右侧插入
					{
						RotateLR(parent);
					}
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return make_pair(newnode, true);
	}
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		//调平衡因子
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		//调平衡因子
		if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)//subRL就是新增节点
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);//理论上不可能出现这种情况
		}
	}
	void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)//subRL为空就不用给subRL找父母了
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		parent->_parent = subR;
		subR->_left = parent;
		if (parent == _root)//如果parent是根节点，把根节点改为subR，_root的父母置为nullptr
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else//parent不是根节点
		{
			//判断parent是parentParent的左还是右
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}
		//旋转之后，subR和parent的平衡因子都为0
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		parent->_parent = subL;
		subL->_right = parent;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = parentParent;
		}
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

	//中序遍历
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

	//查找
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	//求高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int left = _Height(root->_left);
		int right = _Height(root->_right);
		return left > right ? 1 + left : 1 + right;
	}
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	//判断是否为AVL树
	bool _isBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		int left = _Height(root->_left);
		int right = _Height(root->_right);
		//检查平衡因子是否异常
		if (right - left != root->_bf)
		{
			cout << "平衡因子异常" << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}
		return abs(left - right) < 2
			&& _isBalance(root->_left)
			&& _isBalance(root->_right);
	}
	bool isAVLTree()  
	{
		return _isBalance(_root);
	}

private:
	Node* _root;
};

test.cpp

#include "AVLTree.h"
#include 
void TestAVLTree()
{
	//int a[] = { 1,3,5, 7,9};
	//int a[] = {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15};
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	t.InOrder();
	cout << t.isAVLTree() << endl;
	t[3] *= 10;
	t[4] *= 10;
	t[5] *= 10;
	t.InOrder();

	AVLTree<string, string> dict;
	dict.Insert(make_pair("happy", ""));
	dict.Insert(make_pair("hello", ""));
	dict.InOrder();

	dict["happy"] = "快乐的";
	dict["hello"] = "你好";
	dict.InOrder();
	dict["happy"] += "，开心的";
	dict.InOrder();



}
int main()
{
	TestAVLTree();
	return 0;
}

3.AVL树的性能

}
t.InOrder();
cout << t.isAVLTree() << endl;
t[3] *= 10;
t[4] *= 10;
t[5] *= 10;
t.InOrder();

AVLTree dict;
dict.Insert(make_pair("happy", ""));
dict.Insert(make_pair("hello", ""));
dict.InOrder();

dict["happy"] = "快乐的";
dict["hello"] = "你好";
dict.InOrder();
dict["happy"] += "，开心的";
dict.InOrder();

}
int main()
{
TestAVLTree();
return 0;
}

# 3.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 O(log(2)N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。