高中奥数 2021-05-29

2021-05-29-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P22 例3）

设是集合中个元素的一个排列,记所有满足的排列的集合为,求的值.

解

设.

当时,集合,排列,.故.

当时,集合,排列或,,,,.故.

当时,集合,排列,都满足.故.

当时,对于任意,有

由的定义,必有
故,或,或.

(1)若,则

即解得.于是,矛盾.

(2)若,则与的元素之间形成一一对应关系.所以,这样的排列共有种.

(3)若,则是集合中个元素的一个排列.由
知,与的元素之间也形成一一对应关系.所以,这样的排列共有种.

由(2),(3),可建立如下的递推关系
由,得.

综上所述,当时,;当时,;当时,.

2021-05-29-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P23 例4）

设为的一个排列,,,其中.证明:

分析

一般来说,,且分别计算是困难的.令,对换一种写法:,显然是合理的.易知时,.所以,.

证明

考虑集合的元素的数目.

一方面,固定时,的个数为.所以

另一方面,固定时,的个数为.所以

所以.

2021-05-29-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P24 例5）

设是一个素数,,.证明:.

证明

设,.由二项式定理,有于是,和中至少有一个在中，从而有