合作博弈：夏普利值（shapley value）性质与算法

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简介

沙普利值是合作博弈理论中的一个概念，由劳埃德-沙普利在1951年提出了这个概念，并因此在2012年获得了诺贝尔经济学奖。对于每个合作博弈，它为所有玩家的联盟产生的总盈余分配了一个独特的分配。沙普利值的特点是有一系列的理想属性。

其设置如下：一个玩家联盟进行合作，并从合作中获得一定的整体收益。由于一些玩家对联盟的贡献可能大于其他玩家，或者可能拥有不同的讨价还价能力（例如威胁要破坏整个盈余），在任何特定的游戏中，所产生的盈余在玩家之间的最终分配应该是什么？或者换个说法：每个参与者对整个合作有多重要，他或她可以合理地期待什么回报？沙普利值为这个问题提供了一个可能的答案。

定义

从形式上看，一个联盟博弈的定义是：有一个集合N（n个玩家）和一个函数v，将玩家的子集映射到实数：。其中表示空集。函数v被称为特征函数。

函数v的含义如下：如果S是一个玩家联盟，那么v(S)称为联盟S的价值，表示S的成员通过合作可以获得的总的预期报酬总和。

Shapley值是将总收益分配给参与者的一种方式，假设他们都进行合作。它是一种 "公平 "的分配，因为它是唯一具有以下某些理想特性的分配。根据沙普利值，在给定的联盟博弈(v,N)中，玩家i得到的金额是

其中n是玩家总数，总和扩展到不包含玩家i的N的所有子集S上。该公式可以解释如下：设想联盟是由多个玩家组成的，每个玩家要求他们的贡献作为公平补偿。对每个玩家来说，在可能形成联盟的不同排列组合中取这个贡献的平均值。

沙普利值的等价公式是

所有玩家的排列R的总数为n!，是R中第i个玩家之前的排序。

性质

• 有效性 efficiency

  所有玩家沙普利值的总和等于联盟的价值，所以所有收益都在参与玩家之间分配。
  

• 对称性 symmetry

  如果i和j是两个平等的玩家，那么,对N中包含i或j的任意子集S，都有，这一性质也被叫做同等条件下的平等待遇。

• 线性性 linearity

  如果两个收益函数v和w确定的两个联邦博弈结合起来，那么收益分配应当与它们单独的收益相对应。
  

• Null player

  没有玩家的博弈v的沙普利值为0。给定结合N，沙普利值是唯一从博弈集合到支付向量的映射，满足有效性、对称性、线性性、空玩家。

• 匿名性 anonymity

  如果i和j是两个玩家，w是一个获得函数，除了i和j被交换以外，w和v等同，所以。这意味着玩家的标签在分配它们的收益时不起作用。

• 边际性 marginalism

  沙普利值被看作只使用玩家i的边际贡献率为参数的函数。

举例1：手套博弈

玩家1和2各有一只右手手套，玩家3有一只左手手套，联盟博弈的价值函数是

找出所有排列3!，玩家1的边际贡献率如下表

Order R	MC1
1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1

根据对称性，
根据有效性，

举例2

共有三家公司，公司1，2，3单独投资可盈利，如果公司1和公司2联合，可获利；公司2和公司3联合，可获利；公司1和公司3联合，可获利；公司1、公司2和公司3联合，可获利；那么三个公司一起合作，每个公司应各获利多少？

找出所有排列3!，公司1的边际贡献率如下表

Order R	MC1
1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1

找出所有排列3!，公司2的边际贡献率如下表

Order R	MC2
1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1

找出所有排列3!，公司3的边际贡献率如下表

Order R	MC3
1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1