数据结构初阶--时间复杂度,空间复杂度

一.时间复杂度

1.1 概念

一个算法所花费的时间与其中的语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度。

1.2 大O渐进表示法

1.2.1 什么是大O渐进表示法

在实际计算时间复杂度时,我们不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这里我们使用大O渐进表示法。它其实是一种估算一种量级评估。

大O符号:是用于描述函数渐进行为的数学符号

1.2.2 规则

规则:推导大O阶的方法

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数

2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项

3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数,得到的结果就是大O阶

1.2.3  补充

大O渐进表示法去掉了对结果影响不大的项,eg.  F(N) = N^2 +2 *N +10 随着n递增,后两项对结构影响递减,最后甚至忽略不计

有些算法的时间复杂度存在最好,平均和最坏情况,在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况

1.3 实例

// 1
// 计算Func2的时间复杂度?
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

1.F(N) = 2N+10; O(N) 

// 2
// 计算Func3的时间复杂度?
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

2.O(M+N) 

//3
// 计算Func4的时间复杂度?
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

3.O(1) 

//  4
// 计算strchr的时间复杂度?
const char * strchr ( const char * str, int character );
//strchr :库函数:在字符串中查找字符

4.O(N) 

实例五:经典冒泡排序

//  5
// 计算BubbleSort的时间复杂度?
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

最坏:F(N) = (N-1)*(N)/2

最好:F(N) = N-1

5.O(N)

实例6 二分/折半查找

// 计算BinarySearch的时间复杂度?
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n;
 while (begin < end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);//这么写防溢出
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

准确分析时间复杂度,主要看思想,不能简单的看几层循环。例如这题时间复杂度就是O(logN)(只有以2为底数的可以这么简写,这样写是标准的。

实例7 阶乘递归时间复杂度的计算

/ 计算阶乘递归Fac的时间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

O(N)

这里引入递归时间复杂度的计算

1.每次函数调用为O(1),看递归次数

2.若不是,看他递归调用中次数的累加

实例8 斐波那契递归

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度?
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

通过递归栈帧的二叉树计算理解

1+2+4+...+2^(n-2)

O(2^N)

二.空间复杂度

2.1 概念

空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,因为这个也没太大意义,所以空间复杂度算的是变量的个数

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似,也使用大O渐进表示法。 注意:函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了,因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

2.2 实例

实例一 冒泡排序

// 计算BubbleSort的空间复杂度?
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

3个(end exchange i),O(1)

实例二

// 计算Fibonacci的空间复杂度?
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

这个函数的变量个数是可变的,所以是O(N)

实例三

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

递归调用了N次,开辟了N个栈帧,每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

实例四

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度?
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

空间复杂度也为O(N), 因为栈帧是可以回收的,时间是一去不返的,但空间回收以后可以重复利用

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