11--霍夫曼树

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前言

哈夫曼数是而二叉树的一种特殊形式,又称为最优二叉树,主要用于数据解压和编码长度的优化.

重要概念

• 路径和路径长度

在一棵树种,从一个结点往下可以到达孩子或孩子的孩子结点直接的通路,成为路径.通路分支的数目成为路径长度.

如果规定,根节点的层数为1,那么到达L层路径的结点路径长度为L-1.

75e2faa51c833a4aa5f0225f86b11cc7

• 结点的权及带权路径长度

若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积.

98ddf82b2ca10c0d821589302c89cded

e6bd53e9f5058deb3ba391d52e10cb08

• 树的带权路径长度

树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。

5ec205642620cf3482f99109dc212afb

图二叉树WPL为:

WPL = 5*2+10*2+15*1 = 45

哈夫曼树

定义

给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree).

哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近.

9b82a5ca0fbf1d8085358996f352e360

叶子结点为A、B、C、D，对应权值分别为7、5、2、4。

左边树的WPL = 7 * 2 + 5 * 2 + 2 * 2 + 4 * 2 = 36
右边树的WPL =7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3 = 35

由ABCD构成叶子结点的二叉树形态有许多种，但是WPL最小的树只有左边树所示的形态。则左边树霍夫曼树。

构造哈夫曼树

构造哈夫曼树主要运用于编码，称为哈夫曼编码.

构造哈夫曼树的算法如下：

1）对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F={T1,T2,T3,...,Ti,..., Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。
2）在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
3）从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
4）重复2）和3），直到集合F中只有一棵二叉树为止。

• 第一步,对结点进行排序

  
  
  d59f745a2b88b5642087170045902c61

• 第二步,将最小的5和8构造传一棵子树

  
  
  f79a4ebba755b8b7bd3aa592462276ee

• 第三步,5+8等于13,小于15,将13,15构造成一棵子树

  
  
  28e599a215e8ac6919402f24d843f1c4

• 第四步,由于13+15>15和27,所以将15,27构造成一棵子树

  
  
  e5291d83746a315b5a4245036fa8eeb5

• 第五步,30是大于28,30和28构造一棵子树,

  
  
  608fb9885a18a1c0cab82c47516ba66a

• 最后连起来就是:

  
  
  2d0b1ee8b583a77b29c4bf6e23f02dc7

• 哈夫曼编码

编码规则:从根节点出发，向左标记为0，向右标记为1.

3a4e2653ee8d950ec78fd0538e037a78

代码实现

• 哈夫曼树

  
  
  8aeb99b546424a41033939ab8c4abfdf

• 哈夫曼编码

  
  
  24a384a87746fac18b989214c0d9c296

• 构造结构体

const int MaxValue = `10000`;//初始设定的权值最大值
const int MaxBit = `4`;//初始设定的最大编码位数
const int MaxN = `10`;//初始设定的最大结点个数

typedef struct HaffNode{
    int weight;
    int flag;
    int parent;
    int leftChild;
    int rightChild;
}HaffNode;

typedef struct Code//存放哈夫曼编码的数据元素结构
{
    int bit[MaxBit];//数组
    int start;  //编码的起始下标
    int weight;//字符的权值
}Code;

• 哈夫曼树

void Haffman(int weight[],int n,HaffNode *haffTree){
    
    int j,m1,m2,x1,x2;
    
    //1.哈夫曼树初始化
    //n个叶子结点. 2n-1
    for(int i = 0; i < 2*n-1;i++){
        
        if(I

• 哈夫曼编码

void HaffmanCode(HaffNode haffTree[], int n, Code haffCode[])
{
    //1.创建一个结点cd
    Code *cd = (Code * )malloc(sizeof(Code));
    int child, parent;
    //2.求n个叶结点的哈夫曼编码
    for (int i = 0; istart = 0;
        //取得编码对应权值的字符
        cd->weight = haffTree[i].weight;
        //当叶子结点i 为孩子结点.
        child = I;
        //找到child 的双亲结点;
        parent = haffTree[child].parent;
        //由叶结点向上直到根结点
        while (parent != 0)
        {
            if (haffTree[parent].leftChild == child)
                cd->bit[cd->start] = 0;//左孩子结点编码0
            else
                cd->bit[cd->start] = 1;//右孩子结点编码1
            //编码自增
            cd->start++;
            //当前双亲结点成为孩子结点
            child = parent;
            //找到双亲结点
            parent = haffTree[child].parent;
        }
        
         int temp = 0;

        for (int j = cd->start - 1; j >= 0; j--){
            temp = cd->start-j-1;
            haffCode[i].bit[temp] = cd->bit[j];
        }
      
        //把cd中的数据赋值到haffCode[I]中.
        //保存好haffCode 的起始位以及权值;
        haffCode[i].start = cd->start;
        //保存编码对应的权值
        haffCode[i].weight = cd->weight;
    }
}