组合数的公式

$A_n^m=n\times (n-1)\times ...\times (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

$C_n^m=\frac{n\times (n-1)\times ...\times (n-m+1)}{m!}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$

$C_n^{n-m}=\frac{n\times (n-1)\times ...\times (n-(n-m)+1)}{(n-m)!}=\frac{\frac{n!}{(n-(n-m))!}}{(n-m)!}=\frac{\frac{n!}{m!}}{(n-m)!}=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$

$A_m^m=m\times (m-1)\times ...\times 1=m!$

$\because \frac{n!}{m!\times (n-m)!}\times m!=\frac{n!}{(n-m)!}$
$\therefore C_n^m\times A_m^m=A_n^m$

$又\because C_n^{n-m}=C_n^m$
$\therefore C_n^m\times A_m^m=C_n^{n-m}\times A_m^m=A_n^m$
$\therefore A_n^m=C_n^m\times A_m^m=C_n^{n-m}\times A_m^m$