图论の基础

基本概念

• 图=(顶点集，边集)，即G=(V,E)
• 结点/顶点
• 边/弧：如果两个顶点U、V之间有一条边相连，则称U、V这两个顶点是关联的。有向图中的边又称为弧，有弧头和弧尾(从弧尾指向弧头)。
• 有向图、无向图：取决于边有没有方向
• 阶：图中顶点的个数
• 度：点的度数是与它关联的边的数目，有奇点和偶点之分。有向图有出度和入度之分。无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍。有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。任意一个无向图一定有偶数个(或0个)奇点。
• 加权图：权的含义，不加权的图也可以认为权为1。
• 简单图：任意两个顶点最多只有一条边（多条边称为重边），且每个点都没有连接到它自身的边（无自环）的图叫简单图。
• 完全图：也称简单完全图。如果任意两个顶点间都有边的话，该图就称为完全图。一个n阶的完全无向图含有n*(n-1)/2条边；一个n阶的完全有向图含有n*(n-1)条边。
• 稠密图：一个图的边数接近完全图时；稀疏图：当一个图的边数远远少于完全图时。
• 子图：从一个图中取出若干顶点、若干边构成的一个新的图；边的子集和相关联的点集。
• 路径：路径是由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列，是一些相连的顶点及其边
• 路径长度：非带权图的路径长度是指路径上边的条数；带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。
• 简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径。
• 回路/环：起点和终点相同的路径称为回路（环）。
• 简单回路/简单环：起点和终点相同的简单路径称为简单回路（简单环）。
• 连通性：在一个图中，若从顶点V到顶点U有路径，则称顶点V与U是连通的。
• 连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间是连通的，则称该无向图为连通图；否则称为非连通图。
• 连通分量：一个无向图的连通分支定义为该图的极大连通子图。
• 强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在一条从U到V和从V到U的的有向路径，则称该有向图为强连通图。
• 强连通分量：一个有向图的强连通分支定义为该图的极大强连通子图。

还有一些图的基本概念，如极大强连通子图等，贴在→这里←

举几个栗子
例1：无向图

1-5-2是一条长度为2的简单路径，1-5-2-1-4非简单路径；1-2-4-1是简单回路/简单环。
它是连通图，连通分支就是它本身。

例2：有向图