【数据结构】ST 表与 RMQ 算法

本文参考【朝夕的ACM笔记】数据结构-ST表

在练习线段树的过程中经常会感叹代码怎么这么长啊啊啊懒标记怎么这么难传啊啊啊

于是在得知有一种代码量远小于线段树的算法时、、、（其实是因为做到了[SCOI2007] 降雨量

就是ST表啦~

在什么情况下可以用ST表代替线段树呢？

不需要区间修改的可重复贡献问题

不需要区间修改很好理解，什么叫做可重复贡献呢？

我们知道，求一个数组的最大值（比如说长度为10的数组），我们可以先求前六个数的最大值，再求后七个数的最大值，最后求这两个最大值的最大值，虽然这中间有重复的元素，但是对最终的最大值结果不会有影响，这就叫做可重复贡献问题。

但是如果我们要求一个数组中所有元素的和（还是比如说长度为10的数组），我们就不能用前六个元素的和加上后七个元素的和了，这就叫做不可重复贡献问题。

常见的可重复贡献问题包括：求区间最大/小值，区间按位和/或，区间gcd…

怎么构建ST表呢？

ST表是一种基于倍增算法的数据结构

我们设f[i][j]表示区间 $[i,i+2^j-1]$ 的最大值，因此f[i][0]表示的就是第 i 个元素本身了

由倍增思想，区间 $[i,i+2^j-1]$ 可以被我们拆成两个长度为 $2^{j-1}$ 的子区间，所以可以的到递推式 $f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])$，因此先枚举 $j$，再枚举 $i$，就可以得到 $f[i][j]$ 的值了

怎么查询区间信息呢？–> RMQ算法

如果我们想知道 $[l,r]$ 的最值，我们可能会输出 $f[l][x]$, $l+2^x-1=r$，这样解出x，会发现 $x=lo{g}_2(r-l+1)$，这样得到的 x 就不一定是个整数了，向下取整的话可能会使区间有所损失

这时可重复贡献的性质就发挥作用了，我们把要查询的区间 $[l,r]$ 分成长度为 $\lfloor x\rfloor$ 两部分，一部分以 l 开头，一部分以 r 结尾，也就是 $[l,l+2^x-1]$ 和 $[r-2^x+1,r]$，只要找到这两个区间的最大值，再取最大值，就可以得到整个区间的最大值了

时间复杂度

预处理 $O(nlogn)$
查询 $O(1)$

板子

#include 

using namespace std;

int f[100005][21];
int logn[100005], n, m;

void pre() // 预处理log 防止查询时T
{
    logn[1] = 0, logn[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i++)
        logn[i] = logn[i / 2] + 1;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin >> n >> m;
    pre();

    // 输入数组本身
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> f[i][0];
    for (int j = 1; j <= 21; j++) // 2的21次方满足两百万数据 数据变大上限也要变大
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i ++ )
            f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); // 这里根据所求内容不同需要做相应修改

    while (m -- )
    {
        cin >> l >> r;

		// RMQ查询
        int lg = logn[r - l + 1];
        int ans = max(f[l][lg], f[r - (1 << lg) + 1][lg]);

        cout << ans << '\n';
    }
}