python矩阵乘法分治算法_详解矩阵乘法中的Strassen算法
By Long Luo
机器学习中需要训练大量数据，涉及大量复杂运算，例如卷积、矩阵等。这些复杂运算不仅多，而且每次计算的数据量很大，如果能针对这些运算进行优化，可以大幅提高性能。
一、矩阵乘法
假设
为
的矩阵，
为
的矩阵，那么称
的矩阵
为矩阵
与
的乘积，
记作
，称为矩阵积(matrix product)。
其中矩阵
中的第
行第
列元素可以表示为：
如下图所示：Figure 1 Matrix Multiplication
假如在矩阵
和矩阵
中，
，那么完成
需要多少次乘法呢？对于每一个行向量
，总共有
行；
对于每一个列向量
，总共有
列；
计算它们的内积，总共有
次乘法计算。
综合可以看出，矩阵乘法的算法复杂度是：
。
二、Strassen算法
那么有没有比
更快的算法呢？
1969年，Volker Strassen提出了第一个算法时间复杂度低于
矩阵乘法算法，算法复杂度为
。从下图可知，Strassen算法只有在对于维数比较大的矩阵
，性能上才有很大的优势，可以减少很多乘法计算。
Figure 2 x^3 vs. x^2.807
Strassen算法证明了矩阵乘法存在时间复杂度低于
的算法的存在，后续学者不断研究发现新的更快的算法，截止目前时间复杂度最低的矩阵乘法算法是Coppersmith-Winograd方法的一种扩展方法，其算法复杂度为
。
三、Strassen原理详解
假设矩阵
和矩阵
都是
的方矩阵，求
，如下所示：
，
，
其中
矩阵
可以通过下列公式求出：
从上述公式我们可以得出，计算2个
的矩阵相乘需要2个
的矩阵8次乘法和4次加法。我们使用
表示
矩阵乘法的时间复杂度，那么我们可以根据上面的分解得到下面的递推公式：
其中，表示8次矩阵乘法，而且相乘的矩阵规模降到了
。
2.
表示4次矩阵加法的时间复杂度以及合并矩阵
的时间复杂度。
最终可计算得到
。
可以看出每次递归操作都需要8次矩阵相乘，而这正是瓶颈的来源。相比加法，矩阵乘法是非常慢的，于是我们想到能不能减少矩阵相乘的次数呢？
答案是当然可以！
Strassen算法正是从这个角度出发，实现了降低算法复杂度！
实现步骤可以分为以下4步：
3.1 Strassen实现步骤按上述方法将矩阵
分解(花费时间
)。
2. 如下创建10个
的矩阵
(花费时间
)。
3. 递归地计算7个矩阵积
，每个矩阵
都是
的。
注意，上述公式中只有中间一列需要计算。
4. 通过
计算
，花费时间
。
综合可得如下递归式：
进而求出时间复杂度为：
四、Strassen算法的代码实现
类StrassenMatrixComputor提供了3个API供调用：
_generateTrivalMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT);
普通矩阵乘法计算
_generateMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth);
Strassen算法的矩阵乘法
_generateMatMulConstB(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth);
Strassen算法的矩阵乘法(和MatMul的区别在于内存Buffer是否允许复用)
我们以_generateMatMul为例来学习下Strassen算法如何实现，可以分成如下几步：
第一步：使用Strassen算法收益判断
在矩阵操作中，因为需要对矩阵的维数进行扩展，涉及大量读写操作，这些读写操作都需要大量循环，如果读写次数超出使用Strassen乘法的收益的话，就得不偿失了，那么就使用普通的矩阵乘法。
/*
Compute the memory read / write cost for expand
Matrix Mul need eSub*lSub*hSub*(1+1.0/CONVOLUTION_TILED_NUMBWR), Matrix Add/Sub need x*y*UNIT*3 (2 read 1 write)
*/
float saveCost =
(eSub * lSub * hSub) * (1.0f + 1.0f / CONVOLUTION_TILED_NUMBWR) - 4 * (eSub * lSub) * 3 - 7 * (eSub * hSub * 3);
if (currentDepth >= mMaxDepth || e <= CONVOLUTION_TILED_NUMBWR || l % 2 != 0 || h % 2 != 0 || saveCost < 0.0f) {
return _generateTrivialMatMul(AT, BT, CT);
}
第二步：分块
将矩阵
，
，
3个矩阵都分成4块：
auto aStride = AT->stride(0);
auto a11 = AT->host() + 0 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;
auto a12 = AT->host() + 0 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;
auto a21 = AT->host() + 1 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;
auto a22 = AT->host() + 1 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;
auto bStride = BT->stride(0);
auto b11 = BT->host() + 0 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;
auto b12 = BT->host() + 0 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;
auto b21 = BT->host() + 1 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;
auto b22 = BT->host() + 1 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;
auto cStride = CT->stride(0);
auto c11 = CT->host() + 0 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;
auto c12 = CT->host() + 0 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;
auto c21 = CT->host() + 1 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;
auto c22 = CT->host() + 1 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;
第三步：分治和递归
Strassen算法核心就是分治思想。这一步可以写成下列所示伪代码：
1. If n = 1 Output A × B
2. Else
3. Compute A11,B11, . . . ,A22,B22 % by computing m = n/2
4. P1 Strassen(A11,B12 − B22)
5. P2 Strassen(A11 + A12,B22)
6. P3 Strassen(A21 + A22,B11)
7. P4 Strassen(A22,B21 − B11)
8. P5 Strassen(A11 + A22,B11 + B22)
9. P6 Strassen(A12 − A22,B21 + B22)
10. P7 Strassen(A11 − A21,B11 + B12)
11. C11 P5 + P4 − P2 + P6
12. C12 P1 + P2
13. C21 P3 + P4
14. C22 P1 + P5 − P3 − P7
15. Output C
16. End If
例如其中的一步代码如下所示：
{
// S1=A21+A22, T1=B12-B11, P5=S1T1 auto f = [a22, a21, b11, b12, xAddr, yAddr, eSub, lSub, hSub, aStride, bStride]() {
MNNMatrixAdd(xAddr, a21, a22, eSub * aUnit / 4, eSub * aUnit, aStride, aStride, lSub);
MNNMatrixSub(yAddr, b12, b11, lSub * bUnit / 4, lSub * bUnit, bStride, bStride, hSub);
};
mFunctions.emplace_back(f);
auto code = _generateMatMul(X.get(), Y.get(), C22.get(), currentDepth);
if (code != NO_ERROR) {
return code;
}
}
递归执行，得到最终结果！