每日一题 1155. 掷骰子等于目标和的方法数（中等，动态规划，前缀和）

1. 涉及到从 n-1 个骰子到 n 个骰子的状态转移，显然用动态规划做
2. 对于一共 i 个骰子所能投出来的数字之和为 t 的情况，我们用 dp[i][t] 表示，显然 dp[i][t] = Σdp[i - 1][t - j]，其中 j 从 1 到 k。
3. 所以对于每一个骰子我们需要 O(target * k) 的时间复杂度去计算，一共有 n 个骰子，那么总的时间复杂度为 O(n * target * k)

class Solution:
    def numRollsToTarget(self, n: int, k: int, target: int) -> int:
        l = [1 if i > 0 and i <= k else 0 for i in range(target + 1)]
        
        for i in range(n - 1):
            t = [0] * (target + 1)
            for m in range(1, target + 1):
                for j in range(1, k + 1):
                    if m - j > 0:
                        t[m] += l[m - j]
                        t[m] %= 10**9 + 7
            l = t.copy()
        
        return l[target]

显然三重循环看着就很呆，考虑优化
注意到当我们每次更新 dp[i][t] 时需要对 t 之前 k 范围内的所有 dp[i - 1] 求和，那么”范围求和“一定就是想到前缀和，只要先对 dp[i - 1] 求所有的前缀和，那么只需要 O(n * target) 就可以实现目标

class Solution:
    def numRollsToTarget(self, n: int, k: int, target: int) -> int:
        l = [1 if i > 0 and i <= k else 0 for i in range(target + 1)]
        
        for i in range(n - 1):
            t = [0] * (target + 1)
            for m in range(1, target + 1):
                t[m] = t[m - 1] + l[m] 
                if m > k:
                    t[m] -= l[m - k]
                t[m] %= 10**9 + 7
            for j in range(1, target + 1):
                l[j] = t[j - 1]
                l[j] %= 10**9 + 7
        
        return l[target]