C++基础算法⑦——信奥一本通递归算法（放苹果、求最大公约数问题、2的幂次方表示、分数求和、因子分解、判断元素是否存在）

1206：放苹果

这道题还是有些难度的，我们要考虑几种放苹果的情况。我默默把m代表苹果，n代表盘子。

1. 先把输入搞定，这个还是简简单单的。

int main(){
	//多苹果，少盘子 
	//	例如f(4)(3) = f(4-3)(3) + f(4)(2); 
	//	f(4)(2) = f(4-2)(2)+f(4)(1);
	//测试数据次数 
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		int a,b;
		cin>>a>>b; //输入每组数据 
		cout<<apple(a,b)<<endl; 
	}
	return 0;
}

2. 用apple函数求放苹果的次数。我们知道
   多个苹果,0盘子; 多个苹果,1盘子;
   0个苹果,多盘子;1个苹果,多盘子;
   都只有一种方法哈。

if(m==0||m==1||n==0||n==1) 
	return f[m][n]=1;

• 第二种放苹果情况，就是 少苹果 多盘子，应该怎么放？

  注意 题目讲道：
  1 2 第一个盘子放1个苹果，第二个盘子放2个苹果；
  2 1 第一个盘子放2个苹果，第二个盘子放1个苹果；
  是一样的，只算一种方法。
  
  那上面图片：橙色线的放法 1 1 1 1 0 ；紫色线的放法 0 1 1 1 1 都算同一种； 4苹果5盘子，其实就相当于 4苹果4盘子的方法。代码表示则

return f[m][n] = apple(m,m);

3. 最后一种情况：多苹果少盘子。
   那这样，会出现每个盘子都至少有苹果； 另外情况就是 有盘子没放苹果； 把这两种可能加起来就是多苹果少盘子的放法。
   
   会出现每个盘子都至少有苹果 那上面图片是不是有一个苹果没放对吧！ 1个苹果3个盘子的放法是：

apple(4-3,3); //m苹果，n盘子
apple(m-n,n);

上图是有盘子没放苹果的情况，则变成4个苹果2个盘子的放法是：

apple(4,3-1); //m苹果，n盘子
apple(m,n-1);

完整代码：

#include
using namespace std;
int m,n,t; //m代表苹果，n代表盘子
int f[15][15]={0}; 
int apple(int m,int n){
// 多个苹果,0盘子; 多个苹果,1盘子; 
//	0个苹果,多盘子;1个苹果,多盘子; 都只有一种 
	if(m==0||m==1||n==0||n==1) return f[m][n]=1;
	if(m>=n){ //多苹果，少盘子 
		return f[m][n] = apple(m-n,n) + apple(m,n-1);
	}
	else{
		return f[m][n] = apple(m,m);
	}
	
} 
int main(){
	//多苹果，少盘子 
	//	例如f(4)(3) = f(4-3)(3) + f(4)(2); 
	//	f(4)(2) = f(4-2)(2)+f(4)(1);
	//测试数据次数 
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		int a,b;
		cin>>a>>b; //输入每组数据 
		cout<<apple(a,b)<<endl; 
	}
	return 0;
}

1207：求最大公约数问题

最大公约数用辗转相除法做即可。

#include
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b); 
}

int a,b;
int main(){
	cin>>a>>b;
	cout<<gcd(a,b);
	return 0;
}

1208：2的幂次方表示

1. 输入一个值，这个值从0次方开始拆分

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	f(n,0); 
	return 0;
}

173 怎么得出2的几次方呢？ 值n用短除法，不断➗2，有余数1代表次方有。除一次2，就次方k+1；直到n除到0结束。

void f(int n,int k){    //n是值，k是几方数 
	if(n==0) return ;  //值0,结束 
	n /= 2;
	f(n,k+1); 		  //不断除2,往下搜 

根据题目要求，分解要在余数为1的情况：

• 2的0次方分解： 2(0)
• 2的1次方分解： 2
• 2的2次方分解： 2(2)
• 2的2次方以上分解： 以次方k的值作为n，重新调用函数进行次方的再次分解。

if(yu==1){ //有余数,就输出 
//		cout<<"2("<
		if(k==0) cout<<"2(0)";
		else if(k==1) cout<<"2";
		else if(k==2) cout<<"2(2)"; 
		else{ //超过2的次方重新模拟调用 
			cout<<"2(";
			f(k,0);//对7再进行模拟
			cout<<")"; 
		}
	} 

题目输出要有+号。注意当有余数和值不为0情况。

if(n!=0 && yu!=0) cout<<"+"; 

完整代码：

#include
using namespace std;
void f(int n,int k){    //k是次方数 
	if(n==0) return ;  //值0,结束 
	int yu = n % 2;   //求余数 
	n /= 2;
	f(n,k+1); 		  //不断除2,往下搜 
//	2进制数,哪个次方数是1、是0; 137= 010001001; 128+8+1
	if(n!=0 && yu!=0) cout<<"+";  
	if(yu==1){ //有余数,就输出 
//		cout<<"2("<
		if(k==0) cout<<"2(0)";
		else if(k==1) cout<<"2";
		else if(k==2) cout<<"2(2)"; 
		else{ //超过2的次方重新模拟调用 
			cout<<"2(";
			f(k,0);//对7再进行模拟
			cout<<")"; 
		}
	} 
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	f(n,0); 
	return 0;
}

1209：分数求和

由题目可知，要模拟出分数相加的情况，也就是分母相乘，分子通分求和，在最后进行化简。

1. 要定义变量，第一次输入值 表示第一个数的分子，分母。

int main(){
	int a,b,n,fz,fm;
	char c;
	cin>>n;
	cin>>a>>c>>b;
	fz = a;
	fm = b;

2. 接着从第二个值的分数到第n个分数逐个输入，输入一个分数我们就进行通分操作。

for(int i=2;i<=n;i++){
		cin>>a>>c>>b;

• 分子通分：fz = fz*b + fm*a; //分子
• 分母相乘：fm = fm*b; //分母

3. 对通分的结果，进行最简化，那我们要同时分子分母除以最大的共同因子，也就是最大公约数。

int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

	int yue = gcd(fz,fm);
	fz /= yue; //约分 
	fm /= yue; //约分 

最后判断分母是1就直接输出分子。

	if(fm==1) cout<<fz<<endl; //分母是1,直接输出分子
	else cout<<fz<<"/"<<fm<<endl; 

完整代码：

#include
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int main(){
	int a,b,n,fz,fm;
	char c;
	cin>>n;
	cin>>a>>c>>b;
	fz = a;
	fm = b;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		cin>>a>>c>>b;
		fz = fz*b + fm*a; //分子 
		fm = fm*b; //分母
		int yue = gcd(fz,fm);
		fz /= yue; //约分 
		fm /= yue; //约分 
	}
	if(fm==1) cout<<fz<<endl; //分母是1,直接输出分子
	else cout<<fz<<"/"<<fm<<endl; 	 
	return 0;
}

1210：因子分解

对n 从2到n进行除法，能被整除代表改因子可以分解。

int main(){
	int n,cnt=0,f=0;
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		//判断整除
	}

如果能被整除，就统计这个因子 i 的次数 cnt+1。接着再对n进行分解，直到分解不了。

//		1.判断能被整除
		if(n%i==0){
			cnt = 0; //统计分解的次数
			while(n%i==0){ //实现数字的分解 
				n = n/i;
				cnt++;
			}

再这个因子的次数有无超过1，有要输出 “^”；
乘号 * 输出在两个数中间。 最后判断n分解到值1就结束循环。

		if(f==0) f=1;  //保证乘号不能第一次
		else cout<<"*";
		cout<<i;
		if(cnt>1) cout<<"^"<<cnt;
		if(n==1) return 0; 

完整代码

#include
using namespace std;
int main(){
	int n,cnt=0,f=0;
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=n;i++){
//		1.判断能被整除
		if(n%i==0){
			cnt = 0; //统计分解的次数
			while(n%i==0){ //实现数字的分解 
				n = n/i;
				cnt++;
			}
			if(f==0) f=1;
			else cout<<"*";
			cout<<i;
			if(cnt>1) cout<<"^"<<cnt;
			if(n==1) return 0; 
		} 
	} 
	return 0;
}

1211：判断元素是否存在

1.题目输入需要用到，c语言的输入方式。输入完判断是否满足条件，是就输出YES，否则NO。用函数去完成判断条件

int main(){
//	cin>>k>>x;
	scanf("%d,%d",&k,&x);
	if(search(k)){
		cout<<"YES";
	}
	else{
		cout<<"NO";
	}
	return 0;
}

2. x等于k也是满足函数条件，意味x是M的元素，因为k本身是M的元素

int x,k;
int search(int y){ //主函数k的值传到y
	if(y==x){
		return true;
	} 

当x

if(y>x){
		return false;
	}

当x>k是 调用下函数是否满足2k+1和3k+1 的条件。

	if(x>y){
		return search(2*y+1) || search(3*y+1);
	}

完整代码：

#include
using namespace std;
int x,k;
int search(int y){
	if(y==x){
		return true;
	} 
	if(y>x){
		return false;
	}
	if(x>y){
		return search(2*y+1) || search(3*y+1);
	}
}
int main(){
//	cin>>k>>x;
	scanf("%d,%d",&k,&x);
	if(search(k)){
		cout<<"YES";
	}
	else{
		cout<<"NO";
	}
	return 0;
}