洛谷P7916 [CSP-S 2021]交通规划

如果你没有学习过对偶图等知识，那么对你来说其他题解可能有点难理解，但这篇题解不会！在阅读这篇题解之前，你不需要掌握任何高深的知识，就可以学会这道题的做法

Part1 $k⩽2$的情况

Step1 分析

首先，$k=1$的情况非常简单，你只需要把所有点染成相同颜色即可，这时候答案为$0$，显然是最小的
而对于$k=2$且两个附加点颜色相同，则和上面一样，答案为$0$
所以我们只考虑$k=2$且两个点异色的情况
下面以样例为例子来解释我们的算法

在这张图中，灰色的方块表示每一个点，灰色的块中的黑、白点指的是这个点的颜色
我们考虑染色结束后的情况，此时，我们可以把这张图分为若干个黑、白连通块，如图所示

假设此时有多于一个块是黑色的，那么这些块的四周一定都是白色的点（否则就是一个连通块而不是两个了），所以这就出现了一个问题：我为什么不把这些黑色的块中的每个点都染成白色呢？这样的话，答案就可以减小很多
例如上图中的右下角的连通块，如果把它改为白色，答案可以减少$5+7=12$！
同理可知，同样也只有一个白色的块
所以，我们可以找到一条分界线，把黑色和白色的点分在这条线的两侧

从图上可以看出，只有被线穿过的边的两侧的点才是异色的，所以我们需要统计的就是这条分界线所穿过的线的权值之和了！

Step2 计算分界线上边权之和

现在，我们的问题转化成了：在这张图上找一条线，使得这条线把这张图分为两块，并且线上的边权之和最小
好，看看上面的那张图，如果我们把每一条边的边权当做是红色的折线（即分界线）的每段线上的边权之和，这一问题不就转化成了最短路的问题了吗？

在这张图中，左上角和右下角的两个点就是最短路的起点和终点，没有数字的边意味着这条边的权值为$0$，也就是说，我们可以从左上部的任意一个点，走到右下部的任意一个点
从图中可以看出，最短的路径就是$3+4+5=12$，把这条路径当做分割线，将原图分为两半染色后，所求的答案就是$3+4+5=12$！
我们接着考虑一个小优化，为的是让建图的过程变得简便，我们把整张图变为一个矩形，在无用的虚边上将权值设置为$0$，如图：

我们可以看到，起点和终点分别位于两个附加点连成的线的两侧，这是因为一条分割线一定经过两个附加点的不同侧，否则无法把它们两个分开，所以两个点必须在不同侧
这样，我们就成功地解决了$k⩽2$的情况，得到了$36$分

Part2 正解

Step1 k = 3 k=3