rsa加密算法_CTF现代密码之RSA之数论
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前言：
在 CTF 的密码题目中，RSA 以其加密算法之多且应用之广泛，所以在比赛中是最常见的题目。学习密码学并不难，但首先得打好数学基础，并在攻破密码的学习之路上持之以恒。今天我们就来打开 RSA 加密世界的第一扇门 《数论》。
数论基础：
1.素数
2.公约数与公倍数
3.欧拉函数
4.欧几里得算法
5.扩展欧几里得算法
6.同余
7.模运算
8.逆
9.中国剩余定理
10.逆元与同余式定理
1.素数：
定义：
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，
不能被其他自然数整除(除0以外)的数称之为素数(质数)；
否则称为合数。
如：
3×4 = 12,不是素数。
11除了等于11×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，
所以11是一个素数。
关于素数有以下事实：
(1) 如果p是素数，且p | ab (表示 ab 能被 p 整除)，则p | a或 p | b，即 p 至少整除 a 与 b 中的一个。
(2)(算术基本定理) 每个整数n ≥ 2，均可分解成素数幂之积：
若不计因数的顺序，这个分解式是唯一的。其中 k ≥ 1， 是两两互不相同的素数， 是正整数。
(3) 素数有无穷多个。
2.最大公约数与最小公倍数
定义 1：
设 ， 是两个整数。如果 且 ，那么 d 就称为是 和 的公约数(或公因数)我们把 和 的公约数中最大的称为 和 的最大公约数，记作
当 时，我们称 和 是互素的。
定义 2：
设 ， 是两个整数。如果 且 ，那么 就称为是 和 的公倍数。我们把 和 的正的公倍数中的最小的称为 和 的最小公倍数，记作 。
3.欧拉函数
定义：
对正整数 ，欧拉函数是小于或等于 的数中与 互质的数的个数，
记作：φ
例如：φ ,因为 ，，， 均与 互质。
性质：
(1) 若 为一素数 P，则：φ
(2) 如果 P 是素数， ,则：φ =
例如 ：求 φ(16)，由于 16 = 2×2×2×2，故 φ(16) = (2-1) × = 8
(3) 若 n 为任意两个互质的 数 的积，则：φ(a*b) = φ(a) × φ(b)
例：求 φ(40)，由于 40 = 5×8，所以 φ(40) = φ(5) × φ(8) = 4×4 = 16
(4)对于整数 ，根据算术基本定理， 可以分解成唯一的形如 ⋯ 的分解式，则：
4.欧几里得(Euclid)算法
定义：
欧几里得算法又称为辗转相除法，用于求两个数的最大公约数。
原理： = (， ) ，
1.python 代码实现
2.python 第三方库：
gmpy2.gcd(a,b) #求 a,b 的最大公约数
Crypto.Util.number
5.扩展欧几里得算法
定义：
在已知 ， 时，求解一组解 ，使得 ，
算法输入：两个正整数 和
算法输出： 和 的最大公因数 及满足等式 的整数 和
python 代码实现:
gmpy2 库函数 gcdext()
6.同余
定义：
设 a,b 是整数，，如果 ，则称 和 模 同余，记为 ( )，整数 称为模数。
由于 等价于 ，所以 ( ) 与 等价。因此，一般我们总假定模数 。
同余的性质
性质 1：
(1)自反性：a ≡ a (mod m)
(2)对称性：a ≡ b (mod m)， b ≡ c (mod m) ，则 a ≡ c (mod m)
性质 2：
(1) 若 ( )， ( )
则： ( )， ( )
特别的，对于一个整数 e,都有 ( )， ( )
(2) 若 ( )，k>0，则 ak ≡ bk (mod mk)
(3) 若 ( )，d 是 a，b 的公因数，则 (mod )
(4) 若 ( )，d|m，d>0，则: a ≡ b (mod d)
(5) 若 ( )，则: ≡ (mod m)
(6) = ( )
(7) = ( )
7.模运算
定义：
模 的运算给出了 对模 的余数，这种运算称为模运算。注意：模运算的结果是从 0 到 的一个整数。
模运算就像普通的运算一样，它是可交换、可结合、可分配的。而且，对每一个中间结果进行模 运算后再进行模 运算，其作用与先进行全部运算，然后再进行模 运算所得到的结果是一样的。例如：
这些性质对于密码学中的数学计算非常的重要，模运算可以将所有中间结果和最后结果限制在一个范围内。对于一个 位的模数 ，任何、加、减、乘的中间结果将不会超过 位长，这样避免了巨大的中间结果，使得计算机能够有效的处理数据。
如：计算 (mod n)，不要直接进行 7 次乘法和一个大数的模运算：
相反，应该进行三次比较小的乘法和三次比较小的模化简：
(( mod n) mod n) mod n
这样就可以避免巨大的中间结果出现。
8.逆
定义：
若 m≥1，,则存在 c 使得：
我们把 c 称为 a 对模 n 的逆，记作 (mod m)，在模数已经指明的情况下，有时也记作 。
在(a,m)=1 时，我们可以使用扩展欧几里得算法来求 a 的逆元：，这是因为：扩展欧几里得算法可以找到整数 , 使得 ，这样 ( )
9.中国剩余定理
中国剩余定理(Chinese remainder theorem，CRT)，又称孙子定理，最早可见于中国南北朝时期(公元 5 世纪)的数学著作《孙子算经》中，为一次同余方程组的起源。
定理(CRT):
设 是两两互素的正整数，
,则同余方程组：
有唯一解: ( )
其中 ( )，i=1,2,⋯,k
代码实现：
10.逆元与同余式定理
| 1.模运算重要公式： |
(a+b) % m = (a % m + b % m) % m
(a-b) % m = (a % m - b % m) % m
(a*b) % m = (a % m * b % m) % m
% m = (a % m) % m
| 2.威尔逊定理： |
若 p 为素数，则： ⟹ 推导： ;
其逆定理同样成立。即：若 ，则 p 为素数
| 3.二次探测定理： |
定义：
若 是素数且 0≡ 仅有的两个解为：或
证明：由于 ≡ ，所以：-1≡ ，即
| 4.费马小定理 |
若 a 为正整数，P 是一质数，则：GCD(a,p)=1
那么 ≡ ，推论: ≡
≡ ，推论: =
| 5.欧拉定理(Euler)： |
若 a 与 m 互质，则：φ ≡1 mod
后记:
数论基础的知识点比较杂乱繁多，这篇文章写的时候尽可能的去精简了，其中的定理及公式是必须要牢记于心的，后面的 RSA 加密算法的讲述中我会介绍定理及公式在 RSA 中的应用。 学习完数论基础后，后面我们将开始学习 RSA 的常见攻击算法及加密原理，以及各种工具的使用和 python 第三方库的函数调用。 喜欢就多关注 CNinja 后续文章哦！有错误的地方欢迎大家指出，一起学习。推荐实验：RSA加密实验
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RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。通过本实验，了解RSA加密算法的基本原理。
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