AM@有理函数的积分@有理分式积分

abstract

• 有理函数的积分
• 可化为有理函数的积分

有理函数

• 两个多项式的商$F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$称为有理函数,又称为有理分式
  • 并且,我们总是假设$P(x),Q(x)$之间没有公因式($F(x)$不可约分化简,否则约分到不可约(满足条件))
• 当分子多项式$P(x)$比分母多项式$Q(x)$的次数小时,称此有理函数为真分式(否则为假分式)

真分式化

• 利用多项式除法,总可以将一个假分式化为一个多项式和一个真分式之和的形式(初步化简)
• 例如$\frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}$=$2x^2-1+\frac{4}{x^2+1}$

真分式因式分解

• 设$\frac{P(x)}{Q(x)}$是真分式,若$Q(x)$可以分解为$Q(x)=Q_1(x)Q_2(x)$,且$Q_1(x),Q_2(x)$之间没有公因式,则$\frac{P(x)}{Q(x)}$=$\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$+$\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$(1)
  • 其中$P_1(x)Q_2(x)+P_2(x)Q_1(x)$=$P(x)$;为简单起见,可以简写为$P_1{Q}_2+P_2{Q}_1=P$(2)
  • 并且$\frac{P_i(x)}{Q_i(x)}$,$i=1,2$称为部分分式,式(1)称为真分式的部分分式之和化操作
• 若$Q_i(x)$能够进一步分解成两个没有公因式的多项式的乘积,则可以再拆分成更简单的部分分式

真分式分解定理

• 最后,有理函数的分解式中仅出现三类函数:

  1. $P_0(x)$,即多项式
  2. $\frac{P_1(x)}{(x-a{)}^k}$
  3. $\frac{P_2(x)}{(x^2+px+q{)}^l}$;其中$\Delta =p^2-4q<0$,
     • 该判别式就是判断$(x^2+px+q)$(3)是否有实根(如果没有实根$\Delta <0$,意味这个该二次多项式不可被分解,否则转换为类型2)
     • 对于一般得一元二次多项式$a{x}^2+bx+c$的判别式为$\Delta =b^2-4ac$,当$a=1$时,$\Delta =b^2-4c$,对应于式(3),是$\Delta =p^2-4q$

• $P_1(x)$为次数小于$k$的多项式;$P_2(x)$为次数小于$2l$的多项式

相关理论参考

• 实系数多项式因式分解定理,即
  • 每个次数大等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为:一次因式和二次不可约因式的乘积

例

• $\int \frac{x+1}{x^2+5x+6}\mathrm{d}x$=$\int \frac{x+1}{(x-3)(x-2)}\mathrm{d}x$=$\int (\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2})\mathrm{d}x$=$4\ln |x-3|-3\ln |x-2|+C$

  • 由真分式分解定理,$\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}$=$\frac{P_1}{x-3}+\frac{P_2}{x-2}$
  • $x+1$=$P_1(x-2)+P_2(x-3)$,即$x+1=(P_1+P_2)x-2P_1-3P_2$
  • 比较系数可知,$P_1+P_2=1$,$-2P_1-3P_2=1$
  • 可以解得$P_1=4,P_2=3$,从而$\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}$=$\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2}$

• $\int \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}\mathrm{d}x$=$\int (\frac{2}{2x+1}-\frac{x}{x^2+x+1})\mathrm{d}x$=$\ln |2x+1|-\int \frac{x}{x^2+x+1}\mathrm{d}x$

  • =$\ln |2x+1|$-$\frac{1}{2}\ln |x^2+x+1|$+$\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$
  • 部分分式和:$\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}$=$\frac{A}{2x+1}+\frac{Bx+D}{x^2+x+1}$
    • $A(x^2+x+1)+(Bx+D)(2x+1)$=$x+2$;整理得$x+2=(A+2B)x^2+(A+B+2D)x+A+D$
    • 即$A+2B=0$;$A+B+2D=1$$A+D=2$,解得$A=2$;$B=-1$;$D=0$
    • $\int \frac{x}{x^2+x+1}\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}\int \frac{2x+1-1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}(\int \frac{1}{x^2+x+1}\mathrm{d}(x^2+x+1)-\int \frac{1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x)$=$\frac{1}{2}(\ln |x^2+x+1|-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C)$=$$
      • 考虑凑微分$\mathrm{d}(x^2+x+1)$=$(2x+1)\mathrm{d}x$
      • $\int \frac{1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x$=$\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}(x+\frac{1}{2})$=$\frac{1}{\sqrt{3}/2}\arctan \frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}/2}+C$=$\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$

• $\int \frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}\mathrm{d}x$=$\int \frac{x-3}{(x-1{)}^2(x+1)}\mathrm{d}x$

  • =$\int (\frac{x-2}{(x-1{)}^2}-\frac{1}{x+1})\mathrm{d}x$=$\int \frac{x-1-1}{(x-1{)}^2}\mathrm{d}x$-$\ln |x+1|$
  • =$\int \frac{1}{x-1}\mathrm{d}(x-1)$-$\int \frac{1}{(x-1{)}^2}\mathrm{d}(x-1)$-$\ln |x+1|$
  • =$\ln |x-1|+\frac{1}{x-1}-\ln |x+1|+C$

可化为有理函数的积分

简单根式积分

• 一般地,若被积函数中含有简单根式$\sqrt[n]{ax+b}$或$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$,可以根式为$u$
  • 这样的便函具有反函数,且反函数是$u$的有理函数,因此原积分可以化为有理函数的积分

三角函数有理式

• $\sin x$,$\cos x$都可以用$u=\tan \frac{x}{2}$(1),$x\in (-\pi ,\pi )$的有理式表示(半角/倍角公式推导),即$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}$(2-1);$\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$(2-2)

• 由(1),得$x=2\arctan u$;$\mathrm{d}x$=$\frac{2}{1+u^2}\mathrm{d}u$(3)

例

• $\int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}\mathrm{d}x$=$\cdots$=$\frac{1}{2}\int (u+2+\frac{1}{u})\mathrm{d}u$=$\frac{1}{2}(\frac{u^2}{2}+2u+\ln |u|)+C$=$\frac{1}{4}{\tan }^{2}x2+\tan \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$

• $\int \frac{\sqrt{x-1}}{x}\mathrm{d}x$,用$\sqrt{x-1}=u$去根号

• $\int \frac{1}{(1+\sqrt[3]{x})\sqrt{x}}\mathrm{d}x$,用$x=u^6$同时消去$\sqrt{x},\sqrt[3]{x}$的根号