Day49【动态规划】121.买卖股票的最佳时机、122.买卖股票的最佳时机II
121.买卖股票的最佳时机
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动态规划五部曲！
1、确定 dp 数组下标及值的含义
先想想本题 dp 应该怎么定义，别忘了之前说的，dp 数组的下标能够表示状态
在股票问题中，某个状态需要描述在某天，及是否持有股票
因此我们定义 dp 数组下标及值含义：
dp[i][0]：下标表示在第 i 天，未持有股票，值表示第 i 天未持有股票所得最多现金
dp[i][1]：下标表示在第 i 天，持有股票，值表示第 i 天持有股票所得最多现金
通过第一个下标 i 描述在哪一天，第二个下标为 0 或 1 描述在该天未持有或持有股票，这样通过两个下标就能够描述所有的状态了
2、确定递推公式
分别思考 dp[i][0] 和 dp[i][1] 分别应该怎么推
dp[i][0]：需要求第 i 天未持有股票所得最多现金，要考虑怎么转移到第 i 天未持有股票的这种状态
- 可能是在第 i 天卖出了股票，所得现金就是昨天持有股票，然后今天卖出股票后所得现金，即：dp[i - 1][1]（昨天持有股票）+ prices[i]（今天卖出股票）
- 可能是在第 i - 1 天就未持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天未持有股票的所得现金，即：dp[i - 1][0]（昨天未持有股票）
因为求的最多现金，即 dp[i][0] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][0])
同理，dp[i][1]：
- 可能是在第 i 天买入股票，所得现金为 -prices[i]（注意本题要求股票全程只能买一次，所以如果买入股票，买之前的现金一定为 0，买之后的现金一定为 -prices[i]）
- 可能是在第 i - 1 天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金，即：dp[i - 1][1]（昨天持有股票）
因为求的最多现金，即 dp[i][1] = max(-prices[i], dp[i - 1][1])
3、dp 数组初始化
从递推公式看出，求某一天 dp 需要知道其前一天的 dp 值，即都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来
那么dp[0][0]表示第 0 天未持有股票，不持有股票现金就是 0，所以 dp[0][0] = 0
dp[0][1]表示第 0 天持有股票，持有股票一定是在第 0 天买入了股票，所以 dp[0][1] = -prices[0]
4、确定遍历顺序
从递推公式可以看出 dp[i] 都是由 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前向后遍历
5、打印 dp 数组验证
代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector& prices) {
if (prices.size() == 0 || prices.size() == 1) return 0;
// 定义dp数组下标及值含义
vector > dp(prices.size(), vector(2));
// 确定递推公式：dp[i][0]和dp[i][1]分别确定
// dp数组初始化，仅初始化第一天即可
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
// 从前往后遍历，一行一行填充
for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][0]);
dp[i][1] = max(-prices[i], dp[i - 1][1]);
}
// 最后一定卖了才能取得最大
return dp[prices.size() - 1][0];
}
}; 从递推公式可以看出，dp[i] 只是依赖于 dp[i - 1] 的状态
dp[i][0] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][0]);
dp[i][1] = max(-prices[i], dp[i - 1][1]);可以使用滚动数组来节省空间，仅记录一天的 dp
如图所示，左边为原 dp 数组，右边是滚动数组。相当于就地更新原 dp 数组的每一行
注意滚动数组中更新 dp 时的遍历顺序，需要从左向右遍历，这样更新 dp[0] 的时候才保证等式右边的 dp 值能对应到原二维数组中 i - 1 层的值
代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector& prices) {
if (prices.size() == 0 || prices.size() == 1) return 0;
// 滚动数组，仅记录原二维dp的一行
int dp[2];
// 初始化原二维dp数组的第一行
dp[0] = 0;
dp[1] = -prices[0];
// 一行一行遍历填充原二维数组
for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) { // 遍历天数
dp[0] = max(dp[1] + prices[i], dp[0]);
dp[1] = max(-prices[i], dp[1]);
} // 遍历填充完毕后，滚动数组记录的是原二维dp的最后一行的数据
return dp[0];
}
}; 122.买卖股票的最佳时机II
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动态规划五部曲！
1、确定 dp 数组下标及值的含义
先想想本题 dp 应该怎么定义，别忘了之前说的，dp 数组的下标能够表示状态
在股票问题中，某个状态需要描述在某天，及是否持有股票
因此我们定义 dp 数组下标及值含义：
dp[i][0]：下标表示在第 i 天，未持有股票，值表示第 i 天未持有股票所得最多现金
dp[i][1]：下标表示在第 i 天，持有股票，值表示第 i 天持有股票所得最多现金
通过第一个下标 i 描述在哪一天，第二个下标为 0 或 1 描述在该天未持有或持有股票，这样通过两个下标就能够描述所有的状态了
2、确定递推公式
分别思考 dp[i][0] 和 dp[i][1] 分别应该怎么推
dp[i][0]：需要求第 i 天未持有股票所得最多现金，要考虑怎么转移到第 i 天未持有股票的这种状态
- 可能是在第 i 天卖出了股票，所得现金就是昨天持有股票，然后今天卖出股票后所得现金，即：dp[i - 1][1]（昨天持有股票）+ prices[i]（今天卖出股票）
- 可能是在第 i - 1 天就未持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天未持有股票的所得现金，即：dp[i - 1][0]（昨天未持有股票）
因为求的最多现金，即 dp[i][0] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][0])
同理，dp[i][1]：
- 可能是在第 i 天买入股票，所得现金为 dp[i - 1][0]（昨天未持有股票）- prices[i]（今天买入股票）（因为一只股票可以买卖多次，所以当第 i 天买入股票的时候，所持有的现金需要考虑之前买卖过的利润）
- 可能是在第 i - 1 天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金，即：dp[i - 1][1]（昨天持有股票）
因为求的最多现金，即 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])
3、dp 数组初始化
从递推公式看出，求某一天 dp 需要知道其前一天的 dp 值，即都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来
那么dp[0][0]表示第 0 天未持有股票，不持有股票现金就是 0，所以 dp[0][0] = 0
dp[0][1]表示第 0 天持有股票，持有股票一定是在第 0 天买入了股票，所以 dp[0][1] = -prices[0]
4、确定遍历顺序
从递推公式可以看出 dp[i] 都是由 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前向后遍历
5、打印 dp 数组验证
代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector& prices) {
if (prices.size() == 0 || prices.size() == 1) return 0;
// 定义dp数组下标及值含义
vector > dp(prices.size(), vector(2));
// 确定递推公式：dp[i][0]和dp[i][1]分别确定
// dp数组初始化，仅初始化第一天即可
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
// 从前往后遍历，一行一行填充
for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][0]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
}
// 最后一定卖了才能取得最大
return dp[prices.size() - 1][0];
}
}; 同样，能够通过滚动数组优化
为了更新 dp 时能够正确用到原二维 dp 中上一层的 dp 值，需要用到 temp 数组记录上一层的 dp 值
class Solution {
public:
int maxProfit(vector& prices) {
if (prices.size() == 0 || prices.size() == 1) return 0;
// 滚动数组仅需维护原dp数组一行（一天）的数据
int dp[2];
// dp数组初始化，仅初始化原dp数组第一行（第一天）即可
dp[0] = 0;
dp[1] = -prices[0];
// 用于记录上一行（前一天）的数据
int temp[2];
// 一行一行遍历填充
for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
// 储存二维dp上一行的数据
temp[0] = dp[0];
temp[1] = dp[1];
// 更新二维dp本行的数据
dp[0] = max(temp[1] + prices[i], temp[0]);
dp[1] = max(temp[0] - prices[i], temp[1]);
}
// 最后一定卖了才能取得最大
return dp[0];
}
}; 回顾总结
关键是需要明确 dp 数组的含义：用第二维区分持有股票和不持有股票的状态