C++（第十五篇）：AVLTree - 平衡二叉搜索树（介绍、实现）

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前言

二叉搜索树的插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的效率。

但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度为O(N)，因此 map、set 等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡二叉搜索树来实现。

最优情况下，有 n 个结点的二叉搜索树为完全二叉树，查找效率为：O($lo{g}_{2}N$)

最差情况下，有 n 个结点的二叉搜索树退化为单支树，查找效率为：O(N)

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一、AVL树

1.1 AVL树的概念

平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree），又称AVL树

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(超过1需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树，要么是空树，要么是具有以下性质的二叉搜索树：

• 每个节点的左右子树高度之差（简称平衡因子 Balance Factor）的绝对值不超过 1 (-1/0/1)

  平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度：用来判断是否需要进行平衡操作（ps：平衡因子不是必须的，只是一种实现的表现方式，平衡因子的绝对值不超过1）

• 每一个子树都是平衡二叉搜索树

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。

有n个结点的AVL树，高度可保持在$lo{g}_{2}N$，其搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}N$)。

思考：为什么左右子树高度差不规定成0呢？

因为在2、4等偶数个节点数的情况下，不可能做到左右高度相等

1.2 AVL树节点的定义

AVL树节点是一个三叉链结构，除了指向左右孩子的指针，还有一个指向其父亲的指针，数据域是键值对，即pair对象，还引入了平衡因子，用来判断是否需要进行平衡操作。

节点结构：

三叉链 + 平衡因子 + pair

// AVL树节点的定义（KV模型）
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
   
    AVLTreeNode<K, V>* _left;
    AVLTreeNode<K, V>* _right;
    AVLTreeNode<K, V>* _parent;

    int _bf;//平衡因子
    pair<K, V> _kv;//数据
    AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv = pair<K, V>())
        : _left(nullptr)
            , _right(nullptr)
            , _parent(nullptr)
            , _bf(0)
            , _kv(kv)
        {
    }
};

// AVL树的定义（KV模型）
template<class K, class V>
class AVLTree
{
   
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;

private:
	Node* _root;

public:
	// 成员函数
}

1.3 AVL树 - 插入节点

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为3步：

1. 插入新节点
2. 更新树的平衡因子
3. 根据更新后树的平衡因子的情况，来控制树的平衡（旋转操作）

① 插入新节点

和二叉搜索树插入方式一样，先查找，再插入。

// 插入节点
bool AVLTree::Insert(const pair<K, V>& kv)
{
   
    // 如果树为空，则直接插入节点
    if (_root == nullptr)
    {
   
        _root = new Node(kv);
        return true;
    }

    // 如果树不为空，找到适合插入节点的空位置
    Node* parent = nullptr;  // 记录当前节点的父亲
    Node* cur = _root;       // 记录当前节点
    while (cur)
    {
   
        if(kv.first > cur->_kv.first) // 插入节点键值k大于当前节点
        {
   
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if(kv.first < cur->_kv.first) // 插入节点键值k小于当前节点
        {
    
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else // 插入节点键值k等于当前节点
        {
   
            return false;
        }
    }
    // while循环结束，说明找到适合插入节点的空位置了

    // 插入新节点
    cur = new Node(kv); // 申请新节点
    // 判断当前节点是父亲的左孩子还是右孩子
    if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
    {
   
        parent->_right = cur;
        cur->_parent = parent;
    }
    else
    {
   
        parent->_left = cur;
        cur->_parent = parent;
    }

    //...................................
    // 这些写更新平衡因子，和控制树的平衡的代码
    //...................................
    
    // 插入成功
    return true;
}

② 更新树的平衡因子

一个节点的平衡因子是否更新取决于他的左右子树的高度是否变化，插入「新节点」，从该节点到根所经分支上的所有节点（即祖先节点）的平衡因子都有可能会受到影响，根据不同情况，更新它们的平衡因子：

• 如果插入在「新节点父亲」的右边，父亲的平衡因子++（ _bf++ ）
• 如果插入在「新节点父亲」的左边，父亲的平衡因子–（ _bf-- ）

「新节点父亲」的平衡因子更新以后，又会分为 3 种情况：

1、如果更新以后，平衡因子是 1 或者 -1（则之前一定为 0），说明父亲所在子树高度变了，需要继续往上更新。（最坏情况：往上一直更新到根节点）

2、如果更新以后，平衡因子是 0（则之前一定为 1 或者 -1），说明父亲所在子树高度没变（因为把矮的那边给填补上了），不需要继续往上更新。

3、如果更新以后，平衡因子是 2 或者 -2，说明父亲所在子树出现了不平衡，需要旋转处理，让它平衡。

代码如下：

//控制平衡，更新平衡因子
while (parent) // 最坏情况：更新到根节点
{
   
    // 更新新节点父亲的平衡因子
    if (cur == parent->_left) // 新节点插入在父亲的左边
    {
   
        parent->_bf--;
    }
    else // 新节点插入在父亲的右边
    {
   
        parent->_bf++;
    }

    // 检查新节点父亲的平衡因子
    // 1、父亲所在子树高度变了，需要继续往上更新
    if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    {
   
        cur = parent;
        parent = cur->_parent;
    }
    // 2、父亲所在子树高度没变，不用继续往上更新
    else if (parent->_bf == 0)
    {
   
        break;
    }
    // 3、父亲所在子树出现了不平衡，需要旋转处理
    else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    {
   
        // 这里写对树进行平衡化操作，旋转处理的代码，分为4种情况：
        
        /*................................................*/
        if (parent->_bf == 2)//等于2，说明是右子树插入新节点
        {
   
            if (cur->_bf == 1