C++前缀和算法的应用：统计得分小于K的子数组数目

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

题目

一个数组的分数定义为数组之和 乘以 数组的长度。
比方说，[1, 2, 3, 4, 5] 的分数为 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) * 5 = 75 。
给你一个正整数数组 nums 和一个整数 k ，请你返回 nums 中分数 严格小于 k 的 非空整数子数组数目。
子数组 是数组中的一个连续元素序列。
示例 1：
输入：nums = [2,1,4,3,5], k = 10
输出：6
解释：
有 6 个子数组的分数小于 10 ：

• [2] 分数为 2 * 1 = 2 。
• [1] 分数为 1 * 1 = 1 。
• [4] 分数为 4 * 1 = 4 。
• [3] 分数为 3 * 1 = 3 。
• [5] 分数为 5 * 1 = 5 。
• [2,1] 分数为 (2 + 1) * 2 = 6 。
  注意，子数组 [1,4] 和 [4,3,5] 不符合要求，因为它们的分数分别为 10 和 36，但我们要求子数组的分数严格小于 10 。
  示例 2：
  输入：nums = [1,1,1], k = 5
  输出：5
  解释：
  除了 [1,1,1] 以外每个子数组分数都小于 5 。
  [1,1,1] 分数为 (1 + 1 + 1) * 3 = 9 ，大于 5 。
  所以总共有 5 个子数组得分小于 5 。
  参数范围：
  1 <= nums.length <= 105
  1 <= nums[i] <= 105
  1 <= k <= 1015

分析

题眼

num[i]是正数，这意味者单调递增。

推论一	如果r1	则nums[left,r1)的积分比nums[left，r2)少，因为nums[r1,r2)的和大于0
推论二	如果r1	如果nums[left,r1)不符合条件，则r2一定不符合条件
推论二	如果r1	如果nums[left,r2)符合条件，则r1一定符合条件
令nums[left,r-1)的积分

时间复杂度

两次循环，第一次循环枚举left，第二轮枚举r，两轮循环的时间复杂度都是O(n)。由于r不需要每次都置0，故总时间复杂度是O(n)。
nums[left,r-1)的积分

代码

核心代码

class Solution {
public:
long long countSubarrays(vector& nums, long long k) {
m_c = nums.size();
vector vSums = { 0 };
for (const auto& n: nums)
{
vSums.emplace_back(n + vSums.back());
}
int r = 0;
long llRet = 0;
//判断nums[left,r)是以k开头，第一个不小于 k 的积分
for (int left = 0; left < m_c; left++)
{
while ((r <= m_c) && ((r - left) * (vSums[r] - vSums[left]) < k))
{
r++;
}
llRet += (r - 1) - left;
}
return llRet;
}
int m_c;
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

int main()
{
Solution slu;
vector nums;
long long k = 0;
long long res;

nums = { 2, 1, 4, 3, 5 };
k = 10;
res = slu.countSubarrays(nums, k);
Assert(6LL, res);
	
nums = {1,1,1 };
k = 5;
res = slu.countSubarrays(nums, k);
Assert(5LL, res);

nums = { 1,2,3,4,5,6 };
k = 10;
res = slu.countSubarrays(nums, k);
Assert(7LL, res);

nums = { 1,2,5,6,3,4 };
k = 11;
res = slu.countSubarrays(nums, k);
Assert(7LL, res);

nums = { 6,5,4,3,2,1 };
k = 12;
res = slu.countSubarrays(nums, k);
Assert(8LL, res);

//CConsole::Out(res);

}

2022年11月旧代码

class Solution {
public:
long long countSubarrays(vector& nums, long long k) {
vector sums(1);
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
sums.push_back(nums[i] + sums[i]);
}
long long lRet = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
lRet += Rec(sums, i, i, nums.size(), k) - i + 1;
}
return lRet;
}
int Rec(const vector& sums, const int& iBegin, const int& iMinIndex, const int& iMaxIndex, const long long& k)
{
if (iMaxIndex <= iMinIndex + 1)
{
if ((sums[iMinIndex + 1] - sums[iMinIndex]) < k)
{
return iMinIndex;
}
return iMinIndex - 1;
}
int iMid = (iMinIndex + iMaxIndex) / 2;
if ((sums[iMid+1] - sums[iBegin])*(iMid-iBegin+1) < k)
{
return Rec(sums, iBegin, iMid, iMaxIndex, k);
}
return Rec(sums, iBegin, iMinIndex, iMid, k);
}

};

2023年7月旧代码

class Solution {
public:
long long countSubarrays(vector& nums, long long k) {
vector vSum(1);
for (const auto& n : nums)
{
vSum.emplace_back(n + vSum.back());
}
long long iRet = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
int left = i, r = nums.size()+1;
//[i,mid)分数小于k，求tmp的最大值 tmp为i表示空数组，tmp为nums.size()表示从i开始的整个数组
while (r - left > 1)
{
const int mid = left + (r - left) / 2;
const long long tmp = (mid - i) * (vSum[mid] - vSum[i]);
if (tmp < k)
{
left = mid;
}
else
{
r = mid;
}
}
iRet += left - i;
}
return iRet;
}
};

扩展阅读

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鄙人想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17