二叉搜索树
本文主要介绍二叉搜索树的概念、二叉搜索树的实现和二叉树搜索树应用分析。
目录
一、二叉搜索树
1.二叉搜索树概念
2.二叉搜索树实现
1.二叉搜索树的定义
2.二叉搜索树的查找
非递归：
递归：
3. 二叉搜索树的插入
非递归：
递归：
4.二叉搜索树的删除
非递归：
递归：
二、二叉搜索树的应用
三、二叉搜索树的性能分析
一、二叉搜索树
1.二叉搜索树概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
2.二叉搜索树实现
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };1.二叉搜索树的定义
二叉搜索树的节点：
template
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode* _left;
BSTreeNode* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)//构造函数
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{}
}; 二叉搜索树：
template
class BSTree
{
typedef BSTreeNode Node;
//构造函数
BSTree();
//拷贝构造
BSTree(const BSTree& t)
{ //调用子函数Copy完成深拷贝
_root = Copy(t._root);
}
//= 运算符重载
//在传参时已经调用拷贝构造完成深拷贝，交换两者的根节点的指向即可
BSTree& operator=(BSTree t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
//析构函数
~BSTree()
{
Destory(_root);
}
//通过递归逐个节点拷贝，链接
Node* Copy(Node*& root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
//通过递归逐个节点释放
void Destory(Node*& root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destory(root->_left);
Destory(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
2.二叉搜索树的查找
a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
非递归：
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}递归：
//递归查找子函数
Node* _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
if (root == key)
return root;
if (root->_key < key)
_FindR(root->_right, key);
else
_FindR(root->_left, key);
}
Node* FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}3. 二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下：
a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点
非递归：
bool Insert(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;//记录cur的父节点用于链接
Node* cur = _root;
if (cur == nullptr)//树为空直接增加新节点
{
cur = new Node(key);
return true;
}
while (cur)//寻找插入位置
{
parent = cur;
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else//有相同数据插入失败
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (key > parent->_key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}递归：
//参数root的引用为上一层传入的参数root->_left或root->_right
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)//找到合适位置，链接
{
root = new Node(key);
//因为root是参数root->_left或root->_right的引用
//此处直接链接
return true;
}
if (root->_key > key)//寻找插入位置
_InsertR(root->_left, key);
else if (root->_key < key)
_InsertR(root->_right, key);
else
return false;
}
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}4.二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情 况：
a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左、右孩子结点
看起来有待删除节点有4中情况，实际情况a可以与情况b或者c合并起来，因此真正的删除过程如下：
情况b：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点--直接删除
情况c：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点--直接删除
情况d：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题--替换法删除（左子树的最大节点或者右子树的最小节点）
非递归：
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;//记录cur的父节点用于链接
Node* cur = _root;
while (cur)
{ //找要删除的节点
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{ //找到要删除的节点
if (cur->_left == nullptr)
//左为空或都都为空（情况c）
{
if (cur == _root)//cur为根节点时，根节点变为右孩子
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if(cur->_right == nullptr)
//右为空或都都为空（情况b）
{
if (cur == _root)//cur为根节点时，根节点变为左孩子
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else//左右孩子都有（情况d）
{ //右子树的最小节点（最左节点）
Node* pminRight = cur;//右子树最左节点父节点
Node* minRight = cur->right;//右子树最左节点
while (minRight->_left)
{
pminRight = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;//交换（赋值）根节点和右子树的最小节点
//minRight为最左节点，因此只可能有右子节点
if (pminRight->_left == minRight)//删除交换后节点
{
pminRight->_left = minRight->_right;
}
else
{
pminRight->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
}
}
}递归：
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{//参数root的引用为上一层传入的参数root->_left或root->_right
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key < key)
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
else
{ //找到要删除的节点：root
Node* del = root;
if (root->_left == nullptr)
{
root = root->_right;
delete del;
}
else if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
delete del;
}
else
{ //左子树的最大节点（最右节点）
Node* maxleft = root->_left;
while (maxleft->_right)
{
maxleft = maxleft->_right;
}
swap(root->_key, maxleft->_key);
//交换后maxleft为要删除的节点，在左子树的最右节点
//递归到root的左子树去删除maxleft
return _EraseR(root->_left, key);
}
}
}
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}二、二叉搜索树的应用
1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
- 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
- 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：
- 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英 文单词与其对应的中文就构成一种键值对；
- 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是就构成一种键值对。
三、二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二 叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：