【数据结构】时间复杂度与空间复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度：
主要衡量一个算法的运行快慢
空间复杂度：
主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念：

时间复杂度的定义：
在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

常见时间复杂度举例

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

题解：

实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

题解：

实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

题解：

实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

题解：
在cplusplus.com网站可得，此函数是一个字符查找函数，

故实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

题解：
从这开始，我们要对时间复杂度有一个新的理解：

即要对代码的思想进行分析，而不是对代码进行分析

对冒泡排序的思想我们不再赘述，详情点击这里
即
我们发现第一次需要遍历N-1个元素，以此类推
利用等差数列求和就可以得到时间复杂度为：O(N^2)

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

题解：
二分查找可就厉害了
一次减少一半需要查找的元素：

故时间复杂度为O(logN) (在数据结构中底数为2时可以省略)

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

题解：
此递归要进行N次，一次是O(1)，故N次为O(N)

long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

题解：

我们发现这是个等差数列，等差数列求和公式可得：

O(2^N)

注意：我们计算时间复杂度时本就是估算，不需要知道特别具体，只需要知道大概量级，也无需在这方面过多纠结

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

例题：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

题解：

实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

题解：

实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

long long Fac(size_t N)
{
   if(N == 0)
   return 1;
   return Fac(N-1)*N;
}

题解：

实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

常见复杂度表格

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