高中奥数 2022-01-09

2022-01-09-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚等差数列与等比数列 P032 例1）

设数列是一个三阶等差数列,其前面的若干项为求的通项公式.

解法一

计算的各阶差分数列,得

由为三阶等差数列,知是一个常数数列,进而,于是

从而,所以.

同上可得

解得.

说明这里用到裂项求和的方法及求和公式,.

解法二由定理2的结论,可设,其中、、、待定利用初始条件,知

解得.

所以.

说明利用待定系数的方法求解高阶等差数列的通项公式也经常用到.

2022-01-09-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚等差数列与等比数列 P033 例2）

如果对任意,多项式的值都为整数,那么称为整值多项式.证明:对任意一个次的整值多项式,都存在整数,使得

这里,它被称为次差分多项式,其这里.

证明

对次多项式,如果其首项系数为,那么令,可知是一个次数的多项式,如此下去,可知存在,使得

为证命题成立,我们只需证明都为整数.

注意到,对,都有 $\Delta\left(\begin{array}{c} x\\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x+1\\ k \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} x\\ k \end{array}\right)=\dfrac{1}{k!}\left(\left(x+1\right)+\cdots\left(x-k+2\right)-x\left(x-1\right)\cdots\left(x-k+1\right)\right)=\dfrac{1}{\left(k-1\right)!}x\left(x-1\right)\cdots\left(x-l+2\right)=\begin{array}{c} x\\ k-1 \end{array}$ .现在由（1知(因为为整值多项式),对(1)的两边作差分,得

再令,知,依此递推,即可证得都为整数.

命题获证.

说明

如果用表示在的函数值,那么由此题证都为整数的过程可知,对任意次多项式,都有

其中.

2022-01-09-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚等差数列与等比数列 P033 例3）

设数列是一个阶等差数列,其通项公式为,这里是一个次多项式.证明:

并依此给出的公式.

证明

利用上例的说明可知

因此

$\begin{aligned} \sum_{m=1}^{n} a_{m} &=\sum_{m=1}^{n}\left(\sum_{k=0}^{p} \Delta^{k} f(0)\left(\begin{array}{l} m \\ k \end{array}\right)\right) \\ &=\sum_{k=0}^{p} \Delta^{k} f(0) \sum_{m=1}^{n}\left(\begin{array}{l} m \\ k \end{array}\right) \\ &=\sum_{k=0}^{p} \Delta^{k} f(0)\left(\mathrm{C}_{k}^{k}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{k}\right) \\ &=\sum_{k=0}^{p} \Delta^{k} f(0)\left(\mathrm{C}_{k+1}^{k+1}+\mathrm{C}_{k+1}^{k}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{k}\right) \\ &=\sum_{k=0}^{p} \Delta^{k} f(0)\left(\mathrm{C}_{k+2}^{k+1}+\mathrm{C}_{k+2}^{k}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{k}\right) \\ &=\cdots\\ &=\sum_{k=0}^{p} \mathrm{C}_{n+1}^{k+1} \Delta^{k} f(0) . \end{aligned}$

所以,(1)成立当时,

故,,.这样利用(1)可知

说明这里给出了阶等差数列前项和的求和公式(在已知通项公式的前提下),依此可方便地给出的求和公式.

高中奥数 2022-01-09

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