归结原理、归结演绎推理

主要内容

  • 归结演绎推理
  • 范式
  • 子句与子句集
  • 将谓词公式转化为子句集
  • 命题逻辑鲁宾逊归结原理

归结演绎推理

  • 定理证明的实质是对前提P和结论Q证明P →Q的永真性
  • 应用反证法,欲证明P →Q,只要证明 P∧~Q 等价于 F
  • 鲁宾逊归结原理对机械化推理有重大突破
  • 鲁宾逊归结原理是以子句为背景开展研究的

范式

什么是范式:“范式” 是一个用于表示、简化或标准化特定类型数据或表达式的术语。它通常用于不同领域,如布尔代数、关系数据库、逻辑表达式等。范式的目标通常是将复杂的数据或表达式变成更简单、更易于处理的形式。

合取范式

合取(Conjunction)是逻辑中的一种基本操作,它表示在多个条件都为真时,整个条件为真。合取通常用符号 “∧” 表示。
例如,如果有两个条件 A 和 B,A ∧ B 表示只有当 A 和 B 都为真时,整个条件才为真。

设  A=B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn

其中,Bi =L1 ∨ L2 ∨… ∨ Lmi ,而Lj为原子公式或其否定。则称A为合取范式。

如:P(x) ∧ (P(x)∨Q(y)∨~ R(x,y))
任何命题公式,最终都能够化成 ( A 1 ∨ A 2 ) ∧ ( A 3 ∨ A 4 ) (A_{1}∨A_2)∧(A_3∨A_4 ) (A1A2)(A3A4)的形式,被称为 “ 合取范式”。

析取范式

设 A=B1 ∨ B2 ∨ … ∨ Bn
其中,Bi =L1 ∧ L2 ∧ … ∧Lmi , 而Lj为原子公式或其否定。则称A为析取范式。
如:P(x)∨(P(x)∧Q(y)∧~R(x,y))

谓词演算中的两种范式

  • 谓词公式:数学或逻辑表达式,用于描述各种属性、关系和条件,以便在形式化逻辑和数学中进行推理和分析。谓词公式通常包含变量、谓词和逻辑运算符。
    • 变量:变量代表一个范围内的值,它们允许我们在公式中引入未知的对象或条件。通常使用字母,如 x、y、z 等来表示变量。
    • 谓词:谓词是述性质、关系或条件符号或符号组合。谓词可以是单一的,也可以包含参数。
      • 参数是用于与特定对象或变量相关联的项。例如,P(x) 可以表示一个关于 x 的属性或条件。
    • 常量:常量是不变的值,它们可以代表特定的对象、数字或元素。例如,数字 1 或特定的对象名可以是常量。
    • 逻辑运算符:逻辑运算符用于组合、连接或否定不同的谓词和条件,以构建更复杂的公式。常见的逻辑运算符包括合取 (∧),析取 (∨),否定 (¬),蕴含 (→),双蕴含 (↔) 等。
    • 量词:量词用于引入变量的范围,以明确说明公式的含义。常见的量词包括全称量词 (,表示 “对于所有”)和存在量词 (∃,表示 “存在一个”)。

前束形范式

一个谓词公式的所有量词均非否定地出现在公式的最前面,且它的辖域一直延伸到公式之末,同时公式中不出现连接词→及 ↔ 。
例:( ∀ \forall x)( ∃ \exists y)( ∀ \forall z)(P(x)∧F(y, z)∧Q(y,z))

斯克林范式(Skolem标准式)

在前束范式的首标中不出现存在量词,即从前束范式中消去全部存在量词所得的公式。
其一般形式为:
(∀x1)(∀x2)…(∀x3)M(x1, x2 ,….x3)
其中M(x1, x2 ,….x3)是一个合取范式,称为Skolem标准型的母式

子句

  • 文字
    • 原子谓词公式及其否定称为文字。
  • 子句
    • 任何文字的析取式称为子句,由子句构成的集合称为子句集。
  • 空子句
    • 不包含任何文字的子句称为空子句,由于它不能被任何解释满足,所以空子句是永假的。

将谓词公式转化为子句集

  • 在谓词逻辑中,任何一个谓词公式都可通过等价关系和推理规则化为子句集。
  • 例、求公式的子句:
    A= (∀x) ((∀ y)P(x,y) → ~(∀)(Q(x,y)→R(x,y)) )

化句集的九个步骤

1、利用连接词化归律消去谓词公式中的条件和双条件连接词。

连接词化归律:P →Q 等价于 ~P ∨Q

A= (∀x) ((∀y)P(x,y)→~(∀y)(Q(x,y)→R(x,y)) )
化为
A= (∀x)((∀y)P(x,y)∨(∀y)(~Q(x,y)∨R(x,y)))

2、利用等价关系把“~”移到紧靠谓词的位置上。

(P) = P 双重否定律
~(P ∧ Q) = ~P ∨ ~Q 摩根定律
~(P ∨ Q) = ~P ∧ ~Q
~ (∀x)P = ( ∃ \exists x)(~P) 量词转换律
~ ( ∃ \exists x)P = (∀x)(~P)
归结原理、归结演绎推理_第1张图片

3、重新命名,使不同量词的约束变元名字不同

归结原理、归结演绎推理_第2张图片

4、消去存在量词

存在量词未出现在全称量词的辖域内时,用一个个体常量替换其所有约束变元。
否则,用skolem函数替换其所有其约束变元。

归结原理、归结演绎推理_第3张图片
归结原理、归结演绎推理_第4张图片

5、把全称量词移到公式最左边

6、利用等价关系(如:分配律)

归结原理、归结演绎推理_第5张图片
归结原理、归结演绎推理_第6张图片

7、去掉全称量词

归结原理、归结演绎推理_第7张图片

8、对变元更名,使不同子句的变元不同名 。

归结原理、归结演绎推理_第8张图片

9、消去合取词,即得子句集

归结原理、归结演绎推理_第9张图片

鲁宾逊归结原理

  • 由谓词公式转化为子句集的过程可以看出,在子句集中子句之间是合取关系,其中只要一个子句不可满足,则子句集不可满足
  • 因此若一个子句集中包含空子句,则这个子句集一定不可满足

其基本思想:
检查子句集S中是否包含空子句,若包含,则S不可满足,不包含,就在子句集中选择合适的子句进行归结,归结出空子句,则S不可满足

命题逻辑鲁宾逊归结原理

  • 互补文字
    • 若P是原子谓词公式,则称P和~P为互补文字。
  • 归结式
    • 设C1与C2是子句集中的任意两个子句,且C1中的文字L1与C2中的文字L2互补,令:C12={C1-L1} ∨ {C2-L2}
    • 则称C12为C1与C2的归结式,C1、C2 为C12的亲本子句。
      归结原理、归结演绎推理_第10张图片

归结原理、归结演绎推理_第11张图片
归结原理、归结演绎推理_第12张图片

归结原理、归结演绎推理_第13张图片

归结原理、归结演绎推理_第14张图片

归结原理、归结演绎推理_第15张图片

归结原理、归结演绎推理_第16张图片

归结原理、归结演绎推理_第17张图片

归结原理、归结演绎推理_第18张图片

归结原理、归结演绎推理_第19张图片

归结原理、归结演绎推理_第20张图片

归结原理、归结演绎推理_第21张图片

归结原理、归结演绎推理_第22张图片

你可能感兴趣的:(java,javascript,前端)